Задачи с экономическим содержанием Задача 17 (профильный уровень)

и услуг, минимизацией расходов или максимизацией прибыли и т. п.,

можно отнести к задачам с экономическим содержанием:

• задачи на чтение и анализ данных, представленных в виде графиков, диаграмм и таблиц,
• простейшие текстовые арифметические задачи на товарно-денежные отношения (в основном на оплату товаров и услуг),
• арифметические текстовые задачи на проценты,
• задачи о кредитовании и банковских процентах,
• задачи оптимизации производства товаров или услуг (минимизации расходов или максимизации прибыли).

целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается

на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн.руб. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад будет меньше 25 млн.руб.

Пусть S млн. руб. сумма вклада, на 4 года, увелич-ся на 10%

(1,1S) ∙1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3) ∙ 1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3) ∙1,1= S + 6,3∙ 1,1

Задачи на вклады

S + 6,93 < 25
(1,1S)1,1=1,1² S
1,1S
(1,1²

S+3) 1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3)1,1 = S + 6,93

S < (25 - 6,93):1,4641

S < 18,07:1,4641

S < 180700:14641

S < 12

Ответ: 12 млн.руб.

целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается

на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн.руб. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за 4 года начислит на вклад больше 5 млн.руб.

Пусть S млн. руб. сумма вклада, на 4 года

(1,1S)1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3)1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3) ∙1,1= S + 6,3∙ 1,1

млн.руб..
S + 6,93 – S

– 6 > 5

(1,1S)1,1=1,1²S

1,1S

(1,1² S+3) 1,1=1,1³ S+3,3

1,4641S – S > 5 - 0,93

0,4641S > 4,07

S > 4,07:0,4641

S > 8

Ответ: 9 млн.руб.

(1,1³ S+3,3+3)1,1 = S + 6,93

месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

1 млн. руб. – сумма кредита, под r % в месяц, на 6 месяцев

Задачи на кредиты

месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

1 млн руб. – сумма кредита, под r% в месяц, на 6 месяцев

(1+0,01r) 1млн

0,4+0,01r

(1+0,01r) 0,6

0,2+0,006r

(1+0,01r) 0,4

0,1+0,004r

(1+0,01r) 0,3

0,1+0,003r

(1+0,01r) 0,2

0,1+0,002r

(1+0,01r) 0,1

(1+0,01r) 0,1

меньше 1,2 млн. руб.



=1+0,026r
(1+0,01r) 1млн
0,4+0,01r
(1+0,01r) 0,6
0,2+0,006r
(1+0,01r) 0,4
0,1+0,004r
(1+0,01r) 0,3
0,1+0,003r
(1+0,01r) 0,2
0,1+0,002r
(1+0,01r)

0,1

(1+0,01r) 0,1

1+ 0,026r < 1,2

r < 0,2:0,026

r < 7

Ответ: r = 7

на три года в размере S млн руб., где S—целое

число. Условия его возврата таковы:
• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

S – сумма кредита, под 25% в год, на 3 года

Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. руб.

1,25S

0,55S

0,7S 1,25 = 0,875S

0,475S

0,4S 1,25 = 0,5S

0,5S

достаточно рассмотреть меньшую, т.е. 2 год.
1,25S
0,55S
0,7S 1,25 = 0,875S
0,475S
0,4S 1,25

= 0,5S

0,5S

0,475S > 5

S > 10

S > 5:0,475

Ответ: 11 млн.руб.

на 5 лет в размере S тыс. руб.

Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2020, 2021 и 2022 годов долг остаётся равным S тыс. руб.;
выплаты в 2023 и 2024 годах равны по 360 тыс.руб.;
к июлю 2024 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5лет..

S тыс.руб. – сумма кредита, под 20% в год, на 5 лет.

1,2S

S

0,2S

1,2S

S

0,2S

1,2S

0,2S

S

1,2S

360

1,2S-360

(1,2S-360) 1,2

360

0

360 = 0
1,2² S = 1,2 ∙ 360 + 360
S

= 792 : 1,44

S = 550

Общая сумма выплат: при S=550 будет равна 0,6S+720=
= 330 + 720 = 1050(тыс.руб.)

Ответ: 1050тыс.руб.

происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней)

после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

По условию кредит взят на минимальное количество лет. Следовательно, выплата должна быть максимальной, 24000 руб.

100000 ∙ 1,1 = 110000

24000

86000

1,1 ∙ 86000 = 94600

24000

70600

1,1 ∙ 70600 = 77660

24000

53660

1,1 ∙ 53660 = 59026

24000

35026

1,1 ∙ 35026 = 38528,6

24000

14528,6

6

1,1 ∙ 14528,6 = 15981,6

15981,6

0

Ответ: 6 лет

Задачи на подсчёт

Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20%

по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е. за 4 года)?

S = 8052000 руб. – сумма кредита, под 20% в год, на 4 года.
Х руб. – ежегодный платёж.

1,2S

1,2S - X

1,2(1,2S - X)

1,2² S - 1,2X - X

1,2(1,2² S - 1,2X - X)

1,2³ S – 1,2² X – 1,2X - X

1,2(1,2³ S – 1,2² X – 1,2X - X)

S– 1,2³ X –1,2² X–1,2X - X

Долг выплачен за 4 года.
Следовательно, S – 1,2³ X – 1,2² X – 1,2X – X = 0

S – Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1) = 0

посчитать и без формулы


S –

Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1) = 0

S = Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1)

Х = S:(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1)

Х = 2,0736∙8052000:5,368

Х = 3110400 (руб.)

Ответ: 3110400 руб.

100000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает

на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Известно, что кредит был полностью погашен за 2 года, причём в первый год было переведено 75000 руб., а во второй – 46000 руб. Найдите число r.

100000 руб. – сумма кредита, под r % в год, на 2 года.

100000 (1 + 0,01r)

25000 + 1000 r

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r)

По условию долг выплачен за 2 года.

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r)

- 46000 = 0

250 r + 1000 r +10 r² – 46000 =

0

10 r² +1250 r – 21000 = 0

r² +125 r – 2100 = 0

D = 15625 +8400 = 24025 = 155²

r1 = 15

r2 = - 140 < 0

Ответ: 15%

размере S тыс.руб. на 3 года,

где S – натуральное число. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тыс.руб.

S – сумма кредита, под 15% в год, на 3 года.

1,15S

0,45S

1,15 ∙ 0,7S = 0,805S

0,405S

1,15 ∙ 0,4S = 0,46S

0,46S

составлять целое число тыс.руб.
S – сумма кредита, под 15% в

год, на 3 года.

1,15S

0,45S

1,15 ∙ 0,7S = 0,805S

0,405S

1,15 ∙ 0,4S = 0,46S

0,46S

По условию каждая из выплат должна составлять целое число тыс.руб.

0,45S = 45S/100 =9S/20

0,405S = 405S/1000 = 81S/200

0,46S = 46S/100 = 23S/50

HOK(20; 200; 50) = 200

S = 200 (тыс.руб.)

3,6 млн. руб. на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го

числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. а) Сколько рублей составит первый платёж? б) Сколько рублей составит последний платёж?

S =3,6 млн. руб. – сумма кредита, под 1% в месяц, на 36 месяцев

Задачи на равномерное уменьшение долга
(аннуитетное погашение кредита)

В таких задачах выплата состоит из двух частей: проценты и обязательная ежемесячная часть.

1,01S

0,01S + S /36

1,01 ∙ 35S /36

0,01 ∙ 35S /36 + S /36

1,01 ∙ S /36

0,01 ∙ S /36 + S /36

месяц, на 36 месяцев
1,01S
0,01S + S /36
1,01 ∙ 35S

/36

0,01 ∙ 35S /36 + S /36

1,01 ∙ S /36

0,01 ∙ S /36 + S /36

а) Первый платёж составит: 0,01S + S/36 = 0,01∙3,6+3,6 : 36 =0,136(млн.руб.)

б) Последний платёж : 0,01 ∙ S /36 + S /36 = 1,01 ∙ 3,6 : 36 = 0,101(млн.руб.)

10) 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн. руб. на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. а) Сколько рублей составит первый платёж? б) Сколько рублей составит последний платёж?

месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается

на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за 8-й месяц кредитования нужно выплатить 232 тыс.руб. а)Какую сумму(в руб.) нужно вернуть банку за весь срок кредитования? б)Какую сумму(в руб.) планируется взять в кредит?

S руб. – сумма кредита, под 2% в месяц, на 15 месяцев

1,02S

0,02S + S /15

1,02 ∙ 14S /15

0,02 ∙ 14S /15 + S /15

1,02 ∙ 8S /15

0,02 ∙ 8S /15 + S /15

1,02 ∙ S /15

0,02 ∙ S /15 + S /15

б) По условию за 8 месяц выплачено 232 тыс.руб.

0,02 ∙ 8S /15 + S /15 = 232000

S = 3000000 (руб.)

а) Найдём общую сумму выплат:

месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается

на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за 8-й месяц кредитования нужно выплатить 232 тыс.руб. а)Какую сумму(в руб.) нужно вернуть банку за весь срок кредитования? б)Какую сумму(в руб.) планируется взять в кредит?

1,02S

0,02S + S /15

1,02 ∙ 14S /15

0,02 ∙ 14S /15 + S /15

1,02 ∙ 8S /15

0,02 ∙ 8S /15 + S /15

1,02 ∙ S /15

0,02 ∙ S /15 + S /15

б) По условию за 8 месяц выплачено 232 тыс.руб.

0,02 ∙ 8S /15 + S /15 = 232000

S = 3000000 (руб.)

а) Найдём общую сумму выплат:

= S + (15+1)/2 ∙15 ∙ 0,02S/15 = S + 0,16S = 1,16S = 1,16 ∙3000000 = 3480000(руб.)

S+ (15+14+…+1) 0,02S/15=

месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается

на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 24% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

S руб.– сумма кредита, под r% в месяц, на 15 месяцев

S(1+0,01r)

0,01r S + S /15

(1+0,01r) ∙ 14S/15

0,01r ∙ 14S /15 + S /15

(1 + 0,01r) ∙ S /15

0,01r ∙ S /15 + S /15

r = 3%

Общая сумма выплат:S+(15+14+…+1)0,01rS/15 =

S+ (15+1)/2 ∙15 ∙ 0,01rS/15=

= S + 0,08rS

По условию это на 24% больше суммы взятой в кредит

S + 0,08rS = 1,24S

r = 0,24S / 0,08S

Ответ: r = 3%

5млн.руб. на некоторый срок. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого

месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма выплат составит 6,05 млн.руб.?

S = 5млн.руб.– сумма кредита, под 2% в месяц, на п месяцев.

1,02S

0,02 S + S / n

1,02 ∙ (n – 1)S/ n

0,02∙ (n – 1)S / n + S / n

1,02 ∙ S / n

0,02 ∙ S / n + S / n

n = 20(месяцев)

Сумма выплат 6,05 млн.руб., следовательно, S+(n+(n – 1)+…+1)0,02S/ n = 6,05

S+ (n+1)/2 ∙ n ∙ 0,02S/ n = 6,05

S + 0,01S(n + 1) = 6,05

5 + 0,01 ∙ 5(n + 1) = 6,05

n + 1 = 1,05 / 0,05

Ответ: n = 20(месяцев)