Задачи с решениями по теории вероятности для 11 класса при подготовке к ЕГЭ

подготовке к ЕГЭ

дождя в этот день 0,1. Если июньское утро пасмурное, то вероятность

дождя в течение дня равна 0,4. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.  Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

или утро ясное и дождя не будет.
0,3*(1- 0,4) + 0,7(1-0,1)

= 0,3*0,6 + 0,7*0,9 = 0,18+0,63 = 0,81

Б. с вероятностью 0,6.
Если А. играет черными, то А.

выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

- "Играя черными одну партию, А. выигрывает".
 
Рассмотрим событие (Х и

У).
 
Р(Х и У) = Р(Х)*Р(У) = 0,6*0,4=0,24.
 
Ответ: 0,24

выпускает 30% этих стекол, вторая — 70%. Первая фабрика выпускает

3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

первой фабрики". Р(А)=0,3
 
Событие В - "Куплены стекла второй фабрики". Р(В)=0,7
 
Событие

Х - " Стекла бракованные".
 
Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009
 
Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028
 
По формуле полной вероятности:
 
Р = 0.009+0.028 = 0.037
 
Ответ: 0,037

магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите

вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

1-0,06 = 0,94
 
Р = 0,94*0,94 - вероятность, что и первая

и вторая исправны
 
Ответ: 0,8836

что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка

проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

0,0198 - вероятность, что неисправную батарейку забракуют
 
Р2= 0,98*0,01 = 0,0098

- вероятность, что исправная батарейка будет забракована
 
Р=Р1+Р2 = 0,0296

Ответ: 0,0296

втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8,

0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится не более, чем в трех ящиках.

находится в одном, двух или трех ящиках. Противоположное событие -

деталь находится во всех четырех ящиках. Найдем вероятность этого противоположного события.
 
Р1 = 0,6*0,7*0,8*0,9 = 0,3024, тогда Р = 1- Р1 = 1 - 0,3024 = 0,6976
 
Ответ: 0,6976

деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того,

что из трех взятых деталей 2 окажутся не бракованными.

брака равна 1-0,2=0,8.
 
Р1= 0,2*0,8*0,8 = 0,128 - вероятность того, что

первая деталь бракованная, а вторая и третья нет.
 
Р2=0,8*0,23*0,8 = 0,128 - вторая бракованная, аналогично Р3=0,128 - третья бракованная.
 
Р = Р1+Р2+Р3 = 3*0,128 = 0,384
Ответ: 0,384

«Вход».
Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении

паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

1/2. С вероятностью 0,5 он поползет к выходу D.
 
Ответ: 0,5

перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув

отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

диапазон - 12 промежутков.
 
Р = 3/12 =1/4=0,25
 
Ответ: 0,25

точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На

каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А.

выходу А есть 2 пути. На одном - паук делает

выбор 5 раз, а на втором - 3 раза, с вероятностью 0,5 каждый раз.
 
Р = 0,55 +0,53 = 0,53(0,25+1) = 0,125*1,25 = 0,15625
 
Ответ: 0,15625

анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных

гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если
 пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным

не болен - равна 0,95.
 
Р= 0,05*0,9 + 0,95*0,01 = 0,0545

двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист

А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

С52 = 5!/(2!*3!) = 5*4/2 = 10.
Благоприятный исход: Турист А

с кем-то в паре. Таких исходов 4.
Р = 4/10 = 0,4

какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет

три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

игру или начинает не она. Т.к. игр три, то всего

исходов 23=8.
 
Будем обозначать благоприятный исход - 1, не благоприятный 0.
 
Для трех игр расстановка исходов такая:
 
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
 
Среди них благоприятных 3: 011, 101, 110.
 
Р=3/8 = 0,375.

если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного

револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2.
 
На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

- 0,6.
Вероятность попасть в муху из пистолета, если он пристрелянный,

равна 0,4*0,9=0,36.
Вероятность попасть в муху, если пистолет непристрелянный, равна 0,6*0,2=0,12.
Вероятность промаха Р=1-0,48=0,52

цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются

до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

первом или втором или ... k-м выстреле. 
Будем вычислять вероятность уничтожения

при k-м выстреле, задавая значения k=1,2,3... И суммируя полученные вероятности
 
k=1 P=0,4 S=0,4
 
k=2 P=0,6*0,6=0,36 - при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена
 S=0,4+0,36=0,76
 
k=3 P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 - цель уничтожена при третьем выстреле
 S=0,76+0,144=0,904
 
k=4 P=0,6*0,4*0,4*0,6= 0,0576 - при 4-м
 S=0,904+0,0576=0,9616
 
k=5 P=0,6*0,43*0,6 = 0,02304
 S=0,9616+0,02304=0,98464 - достигли нужной вероятности при k=5.
 Ответ: 5.

хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает,

она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

такими способами:
 
3+1 выиграла, ничья
 
1+3 ничья, выиграла
 
3+3

оба раза выиграла
 
Вероятность выигрыша равна 0,4, проигрыша - 0,4, вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4 = 0,2.
Р = 0,4*0,2 + 0,2*0,4 + 0,4*0,4 = 2*0,08+0,16 = 0,32
 
Ответ: 0,32