Закон больших чисел

массовых явлений, состоящее в том, что средний результат действия большого

числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью.


В узком смысле под законом больших чисел понимают совокупность теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик, полученных по результатам большого числа наблюдений, к некоторым постоянным величинам.

для любого положительного числа t выполняется соотношение

Оценить вероятность того, что за смену поступит вызовов:
- не менее

60;
- менее 35.
Число вызовов – положительная случайная величина Х с
М[X] = 21.
В соответствии с леммой Маркова для первого случая t = 60:


Для второго случая (t = 35) вероятность ищем через обратное событие:

Оценить вероятность того, что Х примет значение, меньшее 5, пользуясь

леммой Маркова.
Математическое ожидание числа выпавших очков есть



Тогда в соответствии с леммой Маркова при t = 5 имеем:


Полученный результат не противоречит вероятности, вычисленной с помощью классического определения


Действительно: 0,667 > 0,3.

при каждом e > 0 имеет место неравенство:


Или альтернативная форма

(через обратное событие):


Вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не менее чем на e, не превосходит величину D/e2.
Пусть e = t·s, а s – среднеквадратическое отклонение величины Х. Тогда

на величину s, 2s и 3s.





Из последнего неравенства следует, что

вероятность отклонения значения случайной величины Х от среднего значения не менее (1 – 1/9) = 8/9 при любом законе распределения случайной величины.
Для большинства встречающихся на практике законов распределения эта величина намного больше (например, для нормального закона она равна 0,997…).

каждой из которых вечером равна 0,6. Оценить вероятность того, что

число одновременно включенных ламп будет находиться в пределах от 5900 до 6100.
Решение.
Случайная величина Х - число одновременно включенных ламп. Так как вероятность включения каждой из лампочек есть величина постоянная, и при этом включение каждой лампочки является независимым событием, то X распределена по биномиальному закону. Поэтому ее числовые характеристики:
М(Х) = n·р = 10 000·0,6 = 6000,
D(X) = n·p·q = 10 000·0,6·0,4 = 2400.

в пределах oт 5900 до 6100 включительно, означает:
5900 < X

< 6100;
5900 - 6000 < X - 6000 < 6100 - 6000;
-100 < Х - 6000 < 100,
т. е. |Х - 6000| < 100.
Так как для случайной величины X существует математическое ожидание и ограниченная дисперсия, то в соответствии с неравенством Чебышева:


По данным задачи получаем:
Р(|Х - 6000| < 100 ) ≥ 1 - 2400/1002 = 0,76.
Значит, вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет находиться в пределах от 5900 до 6100 включительно, не менее 0,76.

случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же

постоянной С, то каково бы ни было e > 0:



При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое значений случайной величины Х сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.


Иными словами, при большом числе опытов среднее значение случайной величины и ее математическое ожидание будут сколь угодно близки.

какой-либо величины и измерительный прибор не дает систематической ошибки, то

результаты Х1 Х2, …, Хп отдельных измерений являются случайными величинами, математические ожидания которых равны истинному значению M[X] измеряемой величины. Дисперсии D[X1] < С, D[X2] ... < С ограничены, так как точность прибора, как правило, известна.
Тогда из теоремы Чебышева следует, что можно достоверно получить меньшую ошибку, если произвести не одно, а несколько измерений и за истинное значение измеряемой величины принять среднее арифметическое результатов отдельных измерений.
Именно так и поступают на практике, когда требуется достичь большей точности для значения измеряемой величины.

состоит из множества беспорядочно движущихся молекул. Предсказать поведение одной молекулы

невозможно, но совокупное их действие подчиняется закону больших чисел. Например, давление газа, которое определяется суммарным воздействием молекул на единицу площади, должно быть практически постоянным, что и наблюдается в действительности.
Теорема Чебышева служит обоснованием выборочного метода, широко применяемого в статистике, когда по случайной выборке судят обо всей совокупности исследуемых объектов. Например, оценивают качество партии конфет по сравнительно небольшой пробе, считая, что проба содержит все же достаточно много конфет для того, чтобы проявлялось действие закона больших чисел.

п независимых испытаний, а р - вероятность наступления события в

каждом из испытаний. Тогда каково бы ни было e > 0:



С увеличением числа опытов частота события А стремится к вероятности этого события.
Применим неравенство Чебышева к случайной величине m/n. Математическое ожидание и дисперсию определим так:

деятельности, как правило, существует определенный «уровень значимости» вероятностей, т.е. такое

граничное число p, что события, имеющие вероятность, меньшую p, считаются практически невозможными.

Если в качестве примера взять партию пылесосов, то если уровень значимости (вероятность бракованного изделия) будет находиться в пределах 0,01-0,001, этот уровень будет приемлем для покупателя, так как в данном случае вероятность порядка 0,001 достаточно мала, чтобы рассматривать бракованный пылесос как практически невозможное явление. Однако та же самая вероятность 0,001 велика, если речь идет об изготовлении, например, продуктов питания.

п независимых испытаний, а рi - вероятность наступления события в

i-м испытании. Тогда каково бы ни было e > 0:




При неограниченном возрастании числа независимых опытов, производимых в изменяющихся условиях, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью pi, частота события А (m/n) сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей pi.

… , Хп, удовлетворяющих условиям:
1) все величины имеют определенные математические

ожидания M[Xi] и конечные дисперсии D[Xi];
2) ни одна из величин не выделяется резко среди остальных по своим значениям.

приближается к нормальному закону,

т.е. имеем место следующая асимптотическая формула:



где - осредненная дисперсия.

При числе испытаний n, стремящемуся к бесконечности, среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию.

вероятность того, что абсолютное отклонение средней арифметической случайных величин от

средней арифметической их математических ожиданий не превысит 0,5.
Решение.
По условию задачи n = 400, D(Xi ) = 25 и e = 0,5.
Определим осредненную дисперсию:



Исходя из значения e = 0,5 определим t:



Искомая вероятность по теореме Ляпунова равна