Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Замечательные точки треугольника
Содержание
- 1. Замечательные точки треугольника
- 2. Теорема 1Высоты треугольника или их продолжения пересекаются
- 3. ЗамечаниеЗаметим, что высоты треугольника могут не пересекаться.
- 4. Теорема 2Медианы треугольника пересекаются в одной точке
- 5. Вопрос 1Какие точки относятся к числу замечательных
- 6. Вопрос 2Всегда ли высоты треугольника пересекаются? Ответ: Нет. Высоты тупоугольного треугольника не пересекаются.
- 7. Вопрос 3Как называется точка пересечения высот?Ответ: Ортоцентр.
- 8. Вопрос 4Как называется точка пересечения медиан?Ответ: Центроид.
- 9. Вопрос 5В каком отношении делятся медианы треугольника точкой их пересечения?Ответ: 2:1, считая от вершин.
- 10. Упражнение 1Постройте точку пересечения биссектрис треугольника ABC.
- 11. Упражнение 2Постройте точку пересечения медиан треугольника ABC.
- 12. Упражнение 3Постройте точку пересечения медиан треугольника ABC.
- 13. Упражнение 4Постройте точку пересечения высот треугольника ABC.
- 14. Упражнение 5Постройте точку пересечения прямых, на которых лежат высоты треугольника ABC.
- 15. Упражнение 6Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.
- 16. Упражнение 7Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.
- 17. Упражнение 8Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого треугольника?Ответ: Нет.
- 18. Упражнение 9Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого треугольника?Ответ: Нет.
- 19. Упражнение 10Может ли точка пересечения высот или
- 20. Упражнение 11Ответ: Да, у прямоугольного треугольника.Может ли вершина треугольника быть точкой пересечения его высот?
- 21. Упражнение 12Где находится точка пересечения серединных перпендикуляров
- 22. Упражнение 13Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой?
- 23. Упражнение 14К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности? Ответ: К большей стороне.
- 24. Упражнение 15К какой из сторон треугольника ближе
- 25. Упражнение 16К какой из вершин треугольника ближе
- 26. Упражнение 17Углы В и С треугольника АВС
- 27. Упражнение 18Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются
- 28. Упражнение 19Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются
- 29. Упражнение 20Углы треугольника АВС равны соответственно 40о,
- 30. Упражнение 21Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная
- 31. Упражнение 22Докажите, что если медиана треугольника равна
- 32. Упражнение 23Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 2.
- 33. Упражнение 24Ответ: 2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
- 34. Упражнение 25Ответ: 9. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
- 35. Упражнение 26Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника,
- 36. Упражнение 27Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС
- 37. Упражнение 28Основания трапеции равны 20 и 8,
- 38. Упражнение 29Докажите, что если AA1, BB1 –
- 39. Упражнение 30Докажите, что если AA1, BB1 –
- 40. Упражнение 31Докажите, что если AA1, BB1, CC1
- 41. Упражнение 32В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты
- 42. Окружность ЭйлераПусть в треугольнике ABC точки A1,
- 43. Решение Проведем окружность через точки C1, C2,
- 44. Окружность Эйлера 2Изобразите окружность Эйлера для треугольника ABC. Найдите ее радиус.
- 45. Окружность Эйлера 3Изобразите окружность Эйлера для треугольника ABC.
- 46. Точка ТорричеллиТочкой Торричелли треугольника ABC называется такая
- 47. РешениеАналогично, на стороне BC треугольника ABC построим
- 48. Упражнение 35На сторонах треугольника ABC, углы которого
- 49. Упражнение 36На сторонах треугольника ABC во внешнюю
- 50. Скачать презентанцию
Теорема 1Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. В самом деле, СЕ = АВ и АВ = СD как противоположные стороны параллелограммов АЕСВ и АСDB. Следовательно, ЕС = СD.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Теорема 1
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
В самом деле, СЕ = АВ и АВ = СD
как противоположные стороны параллелограммов АЕСВ и АСDB. Следовательно, ЕС = СD. Точно так же FB = BD, FA = AE. Отсюда следует, что высоты треугольника АВС лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника DEF. Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то и высоты треугольника ABC или их продолжения пересекаются в одной точке. 
Слайд 3Замечание
Заметим, что высоты треугольника могут не пересекаться. На рисунке изображен
тупоугольный треугольник ABC, в котором продолжения высот AA1, BB1, CC1
пересекаются в одной точке H, а сами высоты не пересекаются.
Слайд 4Теорема 2
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в
этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.
Треугольники
HGO и EDO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, HO = OE и GO = OD. Таким образом, имеем AG = GO = OD, BH = HO = OE, т.е. медианы АD и BE в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины. Медиана, проведенная из вершины С, также должна делить медиану АD в отношении 2:1. Следовательно, она будет проходить через точку О, т.е. все три медианы будут пересекаться в одной точке. 
Слайд 5Вопрос 1
Какие точки относятся к числу замечательных точек в треугольнике?
Ответ: К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения
биссектрис; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон; в) точка пересечения высот или их продолжений; г) точка пересечения медиан.
Слайд 6Вопрос 2
Всегда ли высоты треугольника пересекаются?
Ответ: Нет. Высоты тупоугольного
треугольника не пересекаются.
Слайд 9Вопрос 5
В каком отношении делятся медианы треугольника точкой их пересечения?
Ответ:
2:1, считая от вершин.
Слайд 15Упражнение 6
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.
Слайд 16Упражнение 7
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.
Слайд 17Упражнение 8
Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого
треугольника?
Ответ: Нет.
Слайд 18Упражнение 9
Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого
треугольника?
Ответ: Нет.
Слайд 19Упражнение 10
Может ли точка пересечения высот или их продолжений находиться
вне этого треугольника?
Ответ: Да, у тупоугольного треугольника.
Слайд 20Упражнение 11
Ответ: Да, у прямоугольного треугольника.
Может ли вершина треугольника быть
точкой пересечения его высот?
Слайд 21Упражнение 12
Где находится точка пересечения серединных перпендикуляров для: а) прямоугольного
треугольника; б) остроугольного треугольника; в) тупоугольного треугольника?
Ответ: а) В середине
гипотенузы; б) внутри треугольника;
в) вне треугольника.
Слайд 23Упражнение 14
К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной
окружности?
Ответ: К большей стороне.
Слайд 24Упражнение 15
К какой из сторон треугольника ближе расположен ортоцентр?
Ответ: Ортоцентр
треугольника расположен ближе к меньшей стороне.
Слайд 25Упражнение 16
К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной
окружности?
Ответ: К вершине, лежащей против большей стороны.
Слайд 26Упражнение 17
Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 10о
и 100о. Найдите углы ВОС и СОА, где О -
центр описанной окружности.Ответ: 140о, 20о.
Слайд 27Упражнение 18
Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке О.
Найдите углы АСО и ВСО, если AOB = 136о.
Ответ:
46о и 46о. 
Слайд 28Упражнение 19
Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке О.
Найдите угол АOB, если ACB = 50о.
Ответ: 115о.
Слайд 29Упражнение 20
Углы треугольника АВС равны соответственно 40о, 60о и 80о.
Найдите угол между высотами АA1 и BB1.
Ответ: 80о.
Слайд 30Упражнение 21
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, равна половине гипотенузы.
Доказательство. следует из того, что центром
окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. 
Слайд 31Упражнение 22
Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к
которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Доказательство. В этом
случае основание M медианы равноудалено от вершин треугольника и, следовательно, является центром описанной окружности. Угол C опирается на диаметр AB, следовательно, равен 90о. 
Слайд 32Упражнение 23
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 2.
Слайд 33Упражнение 24
Ответ: 2.
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,
высота которого равна 6.
Слайд 34Упражнение 25
Ответ: 9.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
3. Найдите высоту этого треугольника.
Слайд 35Упражнение 26
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 и
делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите меньший катет треугольника.
Ответ: 3.
Слайд 36Упражнение 27
Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС
имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют
проекции медиан этого треугольника на ту же прямую?Ответ: 1 см, 7 см и 8 см.
Слайд 37Упражнение 28
Основания трапеции равны 20 и 8, углы при большем
основании равны 40о и 50о. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований.
Ответ:
6.
Слайд 38Упражнение 29
Докажите, что если AA1, BB1 – высоты треугольника ABC,
то угол A1AC равен углу B1BC.
Доказательство. Прямоугольные треугольники A1AC
и B1BC имеют общий острый угол C. Следовательно, равны и два других их острых угла A1AC и B1BC. 
Слайд 39Упражнение 30
Докажите, что если AA1, BB1 – высоты треугольника ABC,
то угол B1A1C равен углу BAC.
Слайд 40Упражнение 31
Докажите, что если AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника
ABC, то угол A1C1C равен углу B1C1C.
Слайд 41Упражнение 32
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1,
BC = 24, B1C1 = 12, O – центр вписанной
окружности. Найдите угол BOC.
Слайд 42Окружность Эйлера
Пусть в треугольнике ABC точки A1, B1, C1 обозначают
середины сторон противоположных соответствующим вершинам; H – точка пересечения высот
треугольника; A2, B2, C2 – основания высот, опущенных из соответствующих вершин; A3, B3, C3 – середины отрезков AH, BH и CH. Докажите, что точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 принадлежат одной окружности, называемой окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера.Решение дано на следующем слайде.
Слайд 43Решение
Проведем окружность через точки C1, C2, C3. Отрезок C1C3
будет ее диаметром. Так как A1C1 – средняя линия треугольника
ABC, то A1C1 || AC. Так как A1C3 – средняя линия треугольника BCH, то A1C3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A1 принадлежит этой окружности. Аналогично, Так как A3C3 – средняя линия треугольника AHC, то A3C3 || AC. Так как C1A3 – средняя линия треугольника ABH, то C1A3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A3 принадлежит этой окружности.
A1C1A3C3 – прямоугольник и, значит, A1A3 – диаметр окружности. Так как
, то A2 принадлежит окружности. Таким образом, мы доказали, что этой окружности принадлежат точки A1, A2, A3. Аналогично доказывается, что этой окружности принадлежат точки B1, B2, B3.
Слайд 46Точка Торричелли
Точкой Торричелли треугольника ABC называется такая точка O, из
которой стороны данного треугольника видны под углом 120о, т.е. углы
AOB, AOC и BOC равны 120о. Докажите, что в случае, если все углы треугольника меньше 120о, точка Торричелли существует.Решение дано на следующем слайде.
Слайд 47Решение
Аналогично, на стороне BC треугольника ABC построим равносторонний треугольник A’BC,
и опишем около него окружность. Из точек соответствующей дуги, отличных
B и C, отрезок BC виден под углом 120о. В случае, когда углы треугольника меньше 120о, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O, из которой стороны треугольника ABC видны под углом 120о.На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC', и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120о. Следовательно, из точек этой дуги, отличных от A и B, отрезок AB виден под углом 120о.
Слайд 48Упражнение 35
На сторонах треугольника ABC, углы которого меньше 120о, во
внешнюю сторону от него построили равносторонние треугольники. Докажите, что отрезки,
соединяющие вершины исходного треугольника и противоположные им вершины равносторонних треугольников, пересекаются в одной точке.Решение. Докажем, что искомой точкой пересечения является точка Торричелли O.
Слайд 49Упражнение 36
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону от него
построили равносторонние треугольники. Докажите, что центры окружностей, описанных около этих
треугольников, являются вершинами равностороннего треугольника.
