Геометрическая прогрессия

случае, если они усвоены творчески.
А.Н. Колмогоров
Дорогой друг!
Сегодня у

тебя необычный урок математики. Сегодня ты еще раз убедишься в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока тебя ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений.
Желаю тебе успехов и творческих радостей на уроке!

называется арифметической прогрессией. Напомню тебе ее определение: Арифметической прогрессией называется

последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
an+1 = an+d - формула, задающая арифметическую прогрессию.
Сегодня ты познакомишься еще с одним видом последовательности, которая называется геометрической прогрессией. Но в начале прочитай легенду о шахматной доске. Чтобы понять ее, вовсе не нужно уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые)

индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее

остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит,

и ты получишь ее.
Сета молчал.
-Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.
Мудрец поклонился.

трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
-Повелитель, -

сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно

твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все

зерна пшеницы уместятся в один мешок?
Об этом ты узнаешь чуточку позже.
А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен пшеницы, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.
Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,….
(запиши ее в тетрадь)
Нетрудно заметить, что члены этой последовательности, начиная со второго, получались путем умножения предыдущего члена на одно и то же число 2.
Запиши еще одну последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, ….
Члены этой последовательности, начиная со второго, получаются путем умножения предыдущего на 3.
Приведенные примеры последовательностей являются геометрическими прогрессиями.
А теперь попробуй сформулировать и записать определение геометрической прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля!

чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену,

умноженному на одно и то же число.
Обозначим, например, через (bn) - геометрическую прогрессию, тогда по определению bn+1= bn⋅q, где bn ≠0, n - натуральное число, q - некоторое число.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е.
bn+1/ bn = q
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что q ≠ 0.

Проверь себя!

Например, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, представленной в легенде: 1, 2, 4, 8, 16,…,
нужно: 2 разделить на 1, или 4 разделить на 2 и т.д., т.е. q=2

б) 3; 3; 3; 3; …..
в)1; 0,1; 0,01; 0,001;…

q = ?

Проверь себя!

а) q = 2
б) q = 1
в) q = 0,1
Ошибок нет? Молодец!
Если есть неправильные ответы, обратись к учителю.
По аналогии с арифметической прогрессией, выводится формула n-го члена геометрической прогрессии.
Пусть b1 – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, тогда:
b2 = b1 ·q
b3 = b2 · q = (b1 · q) · q = d1 · q2
b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3
b5 = ………………..= b1 · q4
Продолжи эту цепочку рассуждений в тетради и вырази bn через b1 и q.

прогрессии.
Эта формула используется для решения многих задач. Рассмотри примеры решения

некоторых задач.
1. В геометрической прогрессии (bn) известны
b1 =-2 и q = 3, найти: b3, b4, bk.
Решение:
b3 = b1 • q2 = -2· 32 = -18
b4 = b1 • q3 = -2· 33 = -54
bk = b1 • qk-1 = -2· 3 k-1
2.Найти пятый член геометрической прогрессии (bn):-20; 40; …. Найдем знаменатель, для этого нужно 40 разделить на -20, получится q = -2.
Решение:
b5 = b1• q4 = -20 • (-2)4 = -20 • 16 = -320

а) x5, если x1 = 16; q = ½
б)

x3, если x1 = 3/4; q = 2/3.
в) x10, если x1 = 48; q = -1.

?

а) x5 = 1
б) x3 = 1/3

в) x10 = -48
Если ты испытывал затруднения, обратись к учителю.

Итак, просьба мудрого Сеты помогла тебе понять определение геометрической прогрессии, и теперь настало время узнать что-же было дальше….

послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду.
-Повелитель,

- был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
-Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

важное донесение.
Царь приказал ввести его.
-Прежде чем скажешь

о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

-Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..

перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и

должна быть выдана..
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

- Назови мне это чудовищное число, сказал он в

раздумьи.

Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду…

семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча

шестьсот пятнадцать, о повелитель!

18 446 744 073 709 551 615

рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание,

должна была выразиться именно таким числом в этом ты сам можешь убедиться.
Фактически, число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:
S = 1+2+22+23+24+…….+262+263
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии 2, получим:
2S = 2+22+23+24+ ……….+264
Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем упрощения: 2S – S = ( 2+22+23+24+….+264) – (1+2+22+23+24+……+263)
S = 264 - 1

сводится к перемножению 64 двоек. Для облегчения выкладок заменим

264 = (210)6 · 24 =
=1024 · 1024 ·1024· 1024 ·1024· 1024· 16 =
=1048576 ·1048576 ·1048576 ·16 – 1
и получим искомое число зерен:

18 446 744 073 709 551 615

Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды.
Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…

геометрической прогрессии.
Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого

была вычислена сумма зерен.
Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых ее членов через Sn:
Sn = b1 + b2 + b3 +………+bn-1 + bn. (1)
Умножим обе части этого равенства на q: Sn ·q = b1· q + b2 ·q + d3· q +…..+bn· q
Учитывая, что b1· q = b2, b2· q = b3,……bn-1· q = bn,
получим: Sn·q = b2 + b3 + b4+ ……+bn + dn· q (2)
Вычтем почленно из (2) равенство (1) и приведем подобные члены : Sn·q – Sn = (b2+b3+b4+….+bn+bn·q) – (b1+b2+b3+…..+bn) = bn·q – b1 ⇒ Sn(q – 1) = bn·q – b1

Sn = (bn·q – b1) / (q – 1)

прогрессии, в которой q ≠ 1, если
q =

1, то все члены прогрессии равны первому члену и Sn = n• b1. Если в формулу вместо bn подставить выражение b1 • qn-1, получим :
Sn = b1(qn – 1)/(q – 1) , q ≠ 1.
Найдем, например, сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ( bn), в которой b1 = 3 ;
q = -2.
S8 = b1(q8 – 1 )/(q – 1) = 3 •((-2)8 – 1)/(-2 – 1) =
=3· 255/(-3) = -255

Выполни самостоятельно:
Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен 3. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.

1) = 2(36 – 1 )/(3 – 1) = 2

·728 / 2 = 728
Молодец!
Итак, благодаря поучительной истории с шахматной доской, ты узнал и открыл для себя много нового и полезного. Перед тобой вопросы, на которые ты должен ответить в конце урока:
1) Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
2) Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии?
3) По какой формуле можно найти n-й член геометрической прогрессии?
4) По какой формуле можно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны:
а) первый член, n-й член и знаменатель;
б)первый член и знаменатель геометрической прогрессии?
Подумай и ответь!