Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Производная функции
Содержание
- 1. Производная функции
- 2. Определение производнойПусть функция y = f(x) определена
- 3. Определение производнойИтак, по определению:Функция y = f(x)
- 4. Геометрический смысл производнойВозьмем на непрерывной кривой L
- 5. Геометрический смысл производнойПроизводная f ’(x) равна угловому
- 6. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функцииЕсли функция
- 7. Производные основных элементарных функций1Формула бинома Ньютона:Степенная функция:K – факториал
- 8. Производные основных элементарных функцийПо формуле бинома Ньютона имеем:Тогда:
- 9. Производные основных элементарных функций2Логарифмическая функция:Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.
- 10. Правила дифференцированияПусть u(x) , v(x) и w(x)
- 11. Производная сложной функцииПусть y = f(u) и
- 12. ПримерВычислить производную функции
- 13. ПримерВычислить производную функцииДанную функцию можно представить следующим образом:Коротко:
- 14. Производная неявно заданной функцииЕсли функция задана уравнением
- 15. Логарифмическое дифференцированиеВ ряде случаев для нахождения производной
- 16. Логарифмическое дифференцированиеФункция
- 17. Скачать презентанцию
Определение производнойПусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).Аргументу x придадим некоторое приращение :хf(x )x+Δxf(x+ Δx )Найдем соответствующее приращение функции:Если существует пределто его называют производной
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Производная функции
Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Производные основных
элементарных функций
Слайд 2
Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале
(a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение :
х
f(x
)x+Δx
f(x+ Δx )
Найдем соответствующее приращение функции:
Если существует предел
то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:
Слайд 3Определение производной
Итак, по определению:
Функция y = f(x) , имеющая производную
в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом
интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.
Слайд 4Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М
и М1:
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
Слайд 5Геометрический смысл производной
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна
x.Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Уравнение касательной
Уравнение нормали
Слайд 6Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Если функция f(x) дифференцируема в
некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Теорема
Пусть функция y
= f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:Доказательство:
где
при
По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.
Слайд 7Производные основных элементарных функций
1
Формула бинома Ньютона:
Степенная функция:
K – факториал
Слайд 9Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных
элементарных функций.
Слайд 10Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в
некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
Слайд 11Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x)
, тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным
аргументом u и независимым аргументом x.Теорема
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
Слайд 13
Пример
Вычислить производную функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
Коротко:
Слайд 14Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y = f(х)
, разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в
явном виде.Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:
Слайд 15Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию
сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Слайд 16Логарифмическое дифференцирование
Функция
называется степенно – показательной.
Пусть u
= u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.
