ГИПЕРБОЛА И ЕЁ СВОЙСТВА

разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1

и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

В такой системе координат:
F1(–c;0) и F2(c;0) ,
где |OF1| = |OF2| = c.

имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

x=±a.
2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси

симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.
3) Из уравнения гиперболы получаем:

кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки

M от начала координат.
Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности.
Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и

его длина 2b – мнимой осью.
Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.
Величина ε характеризует

форму гиперболы.
Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то

Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то

Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.
⇒ можно выбрать систему координат так,

чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет
xy=0,5a2 . (3)
Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на

Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

Для этой гиперболы:
действительная ось – ось Oy,
мнимая ось – ось Ox,
F1(0;–c) и F2 (0;c) (где )

асимптоты:

фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам