Квадратное уравнение

уравнение.
Теорема Виета.
Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Решение задач с

помощью квадратных
уравнений.
Задания для самостоятельной работы.

заданные числа, a≠0, x -неизвестное.
Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения

обычно называют так: a – первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом.
Например, в уравнении 3х²-х+2=0 старший (первый) коэффициент а=3, второй коэффициент b=-1, а свободный член c=2.

Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений:
2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0.
При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2x²+3x=x²+2x+2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению x²+x-2=0.

формуле:

Выражение
называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней; если D=0, то уравнение имеет один действительный корень; если D>0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D=0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

b или свободный член c равны нулю, то квадратное уравнение

называется неполным.

Неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих видов:

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

коэффициент равен единице: a=1.
Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формуле:
Этой

формулой удобно пользоваться, когда p – четное число.
Пример: Решить уравнение x2-14x-15=0. По формуле находим:

Ответ: x1=15, x2=-1.

x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а

произведение равно q, то есть x1+x2=-p, x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Исследование связи между корнями
и коэффициентами квадратного уравнения.

х2+pх+q=0.
Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами:
x1

+х2 = - p, х1 х2 =q
Утверждение № 2:
Пусть числа х1, х2, p, q связаны равенствами х1+х2 = - p, х1 х2 =q.
Тогда х1 и х2 – корни уравнения
х2+pх+q=0

Следствие: х2+pх+q=(х-х1 )(х-х2).
Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета.
Проверка правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного уравнения.
Устное нахождение целых корней приведенного квадратного
уравнения.
Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
Разложение квадратного трехчлена на множители.

, где a≠0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , получим квадратное уравнение


Пример: Решить уравнение
x4+4x2-21=0
  Положив x2=t, получим квадратное уравнение t2+4t -21=0, откуда находим t1= -7, t2=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3.

Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим:

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут

вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

На 10 мин

10 мин =

ч

Составим и решим уравнение:

значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0,

поэтому являются корнями уравнения. Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: x=60. Поэтому скорость такси 80 км/ч.

Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.

меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи

за 6ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи?

Вместе
за 6ч 40мин

6 ч 40 мин = 6 ч

Составим и решим уравнение:

20x(x+3), получаем:
Корни этого уравнения:
При этих значениях x знаменатели дробей, входящих

в
уравнение, не равны 0, поэтому - корни
уравнения. Так как время положительно, то x=12ч. Следовательно

Первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая – 12 ч + 3 ч = 15 ч
Ответ:12 ч и 15 ч.

равно 210.

во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца

и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.

Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.
В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.

Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.