Приращение аргумента. Приращение функции

Татьяна Николаевна

со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в

Пусть x – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. Разность x – x₀ называется приращением независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом,

Δx = x –x₀

откуда следует, что

x = x₀ + Δx.

Вследствие этого значение функции f изменится на величину
f(x) –

Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению

Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀)

откуда

f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.

называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Δy для

Пример №1.

Найти приращение функции функции у = х² при
переходе от точки х₀ = 1 к точкам : а) х = 1,1; б) х = 0,98

Решение:

а) f(1) = 1² = 1; f(1,1) = 1,1² = 1,21;
 y = f(1,1) - f(1) = 1,21 – 1 = 0,21

Δy= f (x₀ + Δx) – f (x₀)

б) f(1) = 1; f(0,98) = 0,98² = 0,9604;
 y = f(0,98) - f(1) = 0,9604 – 1 = - 0,0396.

а, если в точке х = а выполняется
следующее

Пример № 2.

Для функции y = kx + m найти: а) приращение функции
при переходе от фиксированной точки х к точке х +  х;
б) предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, при условии, что приращение аргумента
стремится к нулю.

Решение.

+ x) + m
y = f(x + x) –

y = (kx + kx + m) – (kx + m) = k·x.

y = k·x.

Имеем:

функции
при переходе от фиксированной точки х к точке х

Решение.

Имеем:

f(x) = x²

f(x + x) = (x + x)²

y = f(x + x) – f(x) = (x + x)² - x² =
= (x² + 2xx + (x)²) - x² = 2xx + (x)².

Получили:y = 2xx + (x)².