Применение производной к исследованию функций

производной
к исследованию функций

17 столетия. Тем более поразительно, что за долго до этого

Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции f(x)= х2(а -х)
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Историческая справка

Декарта, французского математи-
ка Роберваля (1602 -1675 ) английского
Учёного Д.Грегори (1638

-1675), в работе
И. Барроу (1630 -1677)
Систематическое учение о производных
развито Лейбницем и Ньютоном, который
сформулировал и две основные пробле-
мы анализа:

предложенное время пути.
2.Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного

в предложенное время пути».
Первая проблема задаёт программу развития дифференциального исчисления.
Вторая относится к интегральному исчислению.
На первый вопрос вы знаете ответ, а на второй узнаете изучив следующую главу.

( ax )|
(f(x)*g(x))|
(ap ) |
(kx+b)|
(logax)|
(sin (kx +b))|
(cos (kx+b))|

г)2х - х-2
2.Найти угловой коэффициент касательной к графику

функции у=х2-3 с абсциссой х0= 5
3.Найдите стационарные точки для функции у=2х; у=х2; у=sinx

Выполните устно

функции отрицательна на промежутке, то функция …
3.Критические точки - это

точки ….
4.Промежутки монотонности это ….
5.Если производная функции при переходе через стационарную точку меняет знак с «+» на «-», то….
а если с «-» на «+» то…..
6.Уравнение касательной имеет вид …..
7.Геометрический смысл производной состоит в том, что …

Продолжи утверждение

в некоторой точке равна нулю, то в этой имеется экстремум.
3.Производная

произведения равна произведению производных.
4.Наибольшее и наименьшее значение функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка.
5.Любая точка экстремума является критической.

верно ли ?.

А f|(x)= 0 f(x) >0
А
А
А
f|(x)< 0

2)0

2

x

y

y

4

0

2.Множество значений [ -4; 2

]
3.Производная положительна (-4; 1)
4.Производная отрицательна (1; 3)
5.Нули функции: -2 и 2

максимума, х=4 точка минимума.

2. имеет две точки максимума и одну

точку минимума.

2)4х3+cosx 3)12x3+cosx +5
А2. Какие из данных функций

возрастают на всей области определения:
1)у= -3х+1; 2) у=-3х2; 3)у=х2 +1; 4)у=6х;
А3.Какая из функций имеет точки экстремума:
1)у=2х; 2)у=7-5х; 3) у=х3+2х; 4)у=х2+1;
А4 Дано f(x)=(3+4x)(4x-3). Найти f/(-1)
1) -32; 2) 32; 3) -50; 4)50;
А5 Дано х(t)=13t2+2t+1; t=2. Найти V
1) 36; 2)57; 3)54; 4)38

Выполни тест

на отрезке [ -2; 1]
В2 Найти длину промежутка убывания функции

у=2х3-24х
В3 Найти наименьшее значение функции f(x)=3sinx на отрезке [0,5 пи;
1,5 пи]