Применение интеграла в геометрии

конуса
Объём шара
Объём шарового сегмента
Объём пирамиды

Объём призмы

при вычислении объёмов тел

на отрезок [a;b] оси Ox и ограничена сверху графиком функции

f, неотрицательной и непрерывной на отрезке от [a;b]. При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ox получили тело, объем которого находится по формуле:

V= ƒ²(x)dx

Действительно, каждая плоскость перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [a;b] этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг с радиусом ƒ(x) и площади S(x)= ƒ²(x)
Sкр= R² ; R=ƒ(x) S(x)= ƒ²(x)
V= S(x)dx= ƒ²(x)dx

Криволинейная трапеция

ox-ось вращения
Доказать: V= 1/3Sh

x

y

0

y=kx

h

r

Доказательство: y=kx ; R=tg r/h
V = (2/hx)²dx = r²/h²·x³/3 | = r²/h²·h³/3 = 1/3 r²h = 1/3Sh

т

h

0

o

h

π

V= ƒ²(x)

Шар получается путём вращения полукруга вокруг диаметра.
y =

X = -R
x = R
y = o

Криволинейная трапеция

Vт.вр. = ƒ²(x)dx
ƒ(х) = ; Vм = 2 (R²-x²)dx = 2 (R²x-x³/3) | 2 (R²-R³/3) = 2 ·2R³/3 =
4/3 R³

т

R

o

o

R

=
a = R-h,

b = R

Vш.сегм.= (R²-x²)dx= (R²x-x²/3)| =

((R³-R³/3)-(R²(R-h)-(R-h)³/3))=

ƒ²(x)dx ; ƒ(x) =

x²

R²

−

R

R-h

(2/3R³-(R³-R²h-1/3(R³-3R²h+3Rh²-h³))= (2/3R³-(R³-R²h-1/3R³+R²h-Rh²+h³/3))=
= (2/3R³-R³+R²h+1/3R³-R²h+Rh²-1/3h³)= (Rh²-1/3h³)= h²(R-1/3h)

π

(АВС)
(А2В2С2) – сечение
(А2В2С2) Ох
(А2В2С2) Ox = x
S

(x) = SABC т.к. ∆АВС = ∆А2В2С2 по ССС
т.к. А2АВ2В ; ВВ2С2С – параллелограммы
V = = = Sx | = Sh

Т

Т

U

Замечания:
объём произвольной наклонной призмы равен сумме объёмов треугольных призм:
V = V1 + V2 + Vn = S1h + S2h + … Snh = h ( S1 + S2 + …Sn ) = Sh
Объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их.

h

0

основания на высоту.

В
С
А
В1
С1
М
О
h
М1
A11
x

Дано: OABC – пирамида
h – высота
S – площадь основания
Д – ть: V = 1/3Sh
Д – во:
ОМ = h – высота; ОМ с Ох; (А1В1С1) Ох
(А1В1С1) II (АВС); Ох (А1В1С1) = М1S(x) – площадь сечения

Т

∆А1ОВ1 ∞ ∆АОВ (по 2м углам) А1В1/AB=A1O/AO
∆А1ОM1 ∞ ∆АОM (по 2м углам) A1O/AO=ОМ1/OM=X/h;Аналогично ОВ1/OB=ОМ1/OM=X/h
∆А1В1C1 ∞ ∆АВC S(x)/S=(x/h)² S(x) = Sx²/h²
По основной формуле объёмов тел:
V = S(x)dx = S/h²x²dx = S/h² (x³/3) | = S/h² · h²/3 = 1/3Sh Ч.Т.Д.

Выразим S(x) через S;h;x (абсциссы т. М1):

o

h

V = 1/3Sh

объёмов тел с помощью интеграла.
Это является ещё одним

подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ – М.: Просвещение, 1998 –

365 c.
Мордкович А. Г., Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Ч. I. – М.: Мнемозина, 2003. – 375 с.

Интернет – ресурсы
http://imc.rkc-74.ru/dlrstore/3/3a53fd3a-03cb-22b0-4cc0-abce209c671b/0003248G.htm
Изображения многогранников. б – пирамида с треугольными гранями и
квадратным основанием; в – треугольная призма; г – пятиугольная
призма; д – р-угольная антипризма;