Дифуры 1го порядка

дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь

интегрировать и дифференцировать. Если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать.

уравнения,
Линейные неоднородные уравнения,

удовлетворяют данному уравнению

случае содержит:
независимую переменную
зависимую переменную (функцию)
первую производную функции

отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно –

важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – ,  и т.д.

которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид

( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде.

Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!
Итак:

разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить

только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

правой части – только «иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения.

Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

интеграла, но константу  достаточно записать один раз (т.к. константа +

константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл.
Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

получаем:
Теперь логарифмы и модули можно убрать:

Ответ: общее решение: