Слайд 1Тригонометрические уравнения
Методы решений
Слайд 2История тригонометрии
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает
измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю)
Возникновение тригонометрии связано
с землемерением, астрономией и строительным делом
Название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад
Впервые способы решения треугольников были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.)
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли:
~Аль-Батани
~Абу-ль-Вафа
~Мухамед-бен Мухамед
~Насиреддин Туси Мухамед
Слайд 3Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - это равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное(переменную)
под знаком тригонометрических функций
Решить тригонометрическое уравнение, значит, найти все его
корни
Слайд 4Уравнения вида sin x=a
Уравнение sin x=a имеет решение при а
принадлежащем [-1; 1]
Общая формула для решения подобных уравнений:
n
x=(-1)arcsin a + Пn, где n принадлежит Z и arcsin a принадлежит [-П /2; П / 2]
Примеры:
sin2x=0,5
sin x=-0,3
Слайд 5Уравнения вида cos x=a
Уравнение cos x=a имеет решение при а
принадлежащем [-1; 1]
Общая формула для решения подобных уравнений:
x=+ / -arccos a + 2Пn, где n принадлежит Z и arccos a принадлежит [0; П]
Полезно знать, что arccos (-a)= П-arccos a
Примеры
cos4x=-1
cos0,5x=0
Слайд 6Уравнения вида tg x=a
Уравнение tg x=a имеет решение при всех
значениях а
Общая формула для решения подобных уравнений:
x=arctg a + Пn, где n принадлежит Z
Полезно помнить, что arctg(-a)=-arctg a
Примеры
tg7x=25
tg x=0,7
Слайд 7Уравнения вида ctg x=a
Уравнение ctg x=a имеет решение при всех
значениях а
Общая формула для решения подобных уравнений:
x=arcctg a + Пn, где n принадлежит Z и arcctg a принадлежит [0; П]
Полезно помнить, что arcctg(-a)=-arcctg a
Примеры
ctg9x=-0,1
ctg 0,6x=127
Слайд 8Метод подстановки
2 3
Уравнения вида asinx+bsinx+c=0, acosx+bcosx+c=0,
2 4 2
atgx+btgx+c=0, actgx+bctgx+c=0 сводятся к одной и той же функции относительно одного и того же выражения, входящего только под знак функции
То есть при замене sinx=q, cosx=w, tgx=e, ctgx=r получаются алгебраические уравнения:
2 3
Уравнения вида aqx+bqx+c=0, awx+bwx+c=0,
2 4 2
aex+bex+c=0, ar x+br x+c=0
После нахождения корней уравнений необходимо вернуться к sinx=q, cosx=w, tgx=e, ctgx=r
не забыв что sinx=a, cosx=a, при а принадлежащем [-1; 1]
Слайд 9Однородные уравнения
2 2
Уравнения вида asinx+bsinxcosx+ccosx=0, asinx+bcosx+c=0 и т.д. называются однородными относительно sinx и cosx
Делением на cosx*, где *-степень уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tgx
2 2
Рассмотрим уравнение asinx+bsinxcosx+ccosx=0 и разделим
2 2
его на cosx, получим: atgx+btgx+c=0 при а не равном 0 оба уравнения равносильны, т.к. cosx не равен 0, если же cosx=0, то из первого уравнения видно, что sinx=0, что невозможно т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество.
![Уравнения вида sin x=aУравнение sin x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1]Общая формула для решения подобных](/img/thumbs/2367debea272c2b9ef12f940536a5b55-800x.jpg "Тригонометрические уравнения Методы решений Уравнения вида sin x=aУравнение sin x=a имеет решение при а принадлежащем")
![Уравнения вида cos x=aУравнение cos x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1]Общая формула для решения подобных](/img/thumbs/5b5314de3d5a5bb219d52a47e23483e9-800x.jpg "Тригонометрические уравнения Методы решений Уравнения вида cos x=aУравнение cos x=a имеет решение при а принадлежащем")
