Элементы квантовой механики

частицы ограничена, например,
Δх = а,
то, такая частица имеет

разброс по импульсам
Δр ≥ ħ/а
и, следовательно, отличную от нуля энергию. Оценим по порядку величины минимальную энергию Emin, которой обладает частица.
Полагая, что
pmin ≈ Δpmin,
получаем
Emin = p2/2m ≈ ħ2/mа2.
Таким образом, частица в квантовой механике никогда не может находиться в состоянии полного покоя.

Э. Шредингер.
Общее не стационарное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой

момент времени волновую функцию Ψ для частицы массы m0, находящееся в потенциальном поле U(x,y,z), имеет вид


Стандартным символом Δ обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид  


Уравнение в частных производных должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.
Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени t = 0.   

ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная

функция U терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки.
Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что для свободной частицы, с кинетической энергий E = p2/2m0, движущейся в отсутствие силовых полей (U = 0) в направлении оси x, решением соответствующего уравнения Шредингера

является волновая функция


соответствующая плоской волне де Бройля.

считая квант действия ħ некоторым параметром задачи и осуществляя предельный

переход ħ→0 по этому параметру. Действительно, по формуле де Бройля при ħ→0 длина волны де Бройля также стремится к нулю. Поэтому переход от квантовой теории к классической в уравнении Шредингера можно осуществить, выполняя в нем предельный переход ħ→0. В курсах теоретической физики анализируются результаты такого предельного перехода и доказывается, что при ħ→0 общее временное уравнение Шредингера переходит в уравнение Гамильтона-Якоби классической механики.
Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П. Дираком в 1928 г. Такой переход потребовал принципиально новых физических идей для описания квантовых состояний релятивистских частиц, результатом применения которых явилось создание релятивистской квантовой механики. В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.

механике описывается заданием волновой функции Ψ(x,y,z,t), являющейся функцией пространственных координат

и времени.
Аппарат, разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновой функцией Ψ, получать полную информацию о движении микрочастицы.
Невозможность задания состояния микрочастицы указанием в любой момент времени ее координат и скорости и отказ от траекторного способа описания движения приводит к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике, определяя состояние частицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени.
В 1926 г. М. Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике: Квадрат модуля волновой функции Ψ(x,y,z,t) определяет плотность вероятности w того, что в момент времени t ≥ 0 частица может быть обнаружена в точке пространства M = M(x,y,x) с координатами x, y и z.
Следовательно
w = dP/dV = |Ψ|2.

то есть содержит действительную и мнимую части. Физический смысл, поэтому,

имеет не сама волновая функция, а ее квадрат модуля |Ψ|2 – действительная величина, которую во многих случаях удобно находить, умножая волновую функцию Ψ на комплексно сопряженную ей функцию Ψ*, так как из теории комплексных чисел следует, что (Ψ*Ψ) = |Ψ|2.
Тогда dP = |Ψ|2dV = (Ψ*Ψ)dV.
Здесь dP – вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в элементарном объеме dV, окружающем точку M
В заданном квантовом состоянии частицы, описываемом волновой функцией Ψ(x,y,z,t), можно рассчитать также вероятность P того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема V. Действительно, так как

V →∞, то обнаружение частицы во всем пространстве является достоверным

событием, вероятность которого равна единице. Следовательно



Это есть условием нормировки волновой функции
Вероятностный смысл волновой функции накладывает на нее определенные ограничения.
1. Условие конечности волновой функции. Это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. Квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции дΨ/дx, дΨ/дy и дΨ/дz..

следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции, которое будет обсуждаться

в следующем параграфе. Из линейности этого уравнения следует, что если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ψ1, а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ψ2, то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ = C1Ψ1 + C2Ψ2, где C1 и C2, в общем случае комплексные числа.
Очевидно, можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния частицы, которое описывается волновой функцией


В таком состоянии квадрат модуля коэффициента Cn определяет вероятность того, что при измерении, проведенном над системой с такой волновой функцией Ψ, мы обнаружим ее в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ψn. Поэтому для нормированных волновых функций

П.Дирака и др. был сформулирован второй постулат квантовой механики, утверждающий,

что каждой физической величине соответствует определенный оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.
Оператор - это математическое правило, следуя которому мы можем преобразовать одну функцию в другую. Задать оператор - это означает определить рецепт такого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др.
В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используется классическое обозначение физической величины, ставя над буквой «шляпку» в виде значка «^».
Оператор предполагается действующим на написанную вслед за ним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции.

к умножению ее на соответствующую координату, то есть.


2. Оператор

импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме как


3. Оператор момента импульса. По формуле классической механики, определяющей момент импульса частицы как вектор L = [rxp], запишем выражения для его проекций на координатные оси и превратим в операторные, определяющие операторы проекций момента импульса:

декартовой, а в сферической системе координат r, θ и φ.

Переходя от декартовых координат к сферическим по обычным правилам замены переменных x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ, тогда





4. Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса Eк = p2/2m0 позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами. Поэтому

Так как полная энергия частицы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому

2. Спектр оператора проекции импульса также является непрерывным спектром.

3.

Примером дискретного спектра является спектр собственных значений оператора проекции момента импульса . Для определения этого спектра направим полярную ось сферической системы координат вдоль направления оси z. Тогда

Так как угловая координата φ является циклической переменной задачи, то условие однозначности собственной функции сводится к условию ее периодичности: Ψ(φ + 2π) = Ψ(φ)

из условия нормировки

оператора квадрата момента импульса возьмем уравнение



спектр собственных значений оператора

оказывается дискретным

Каждому собственному значению соответствует 2l + 1 различных собственных функций, которые выделяются заданием целочисленного параметра m = 0, ±1, ±2, …,±l.
Собственные функции оператора , имеют вид Ψl,m = Yl,m(θ,φ).
Функции Yl,m относятся к классу специальных функций и называются сферическими или шаровыми функциями. Если их нормировать условием
то можно выписать несколько первых нормированных сферических функций в явном виде

является вопрос о возможности одновременного точного измерения в некоторой квантовой

системе двух различных физических величин.
Физические величины a и b будут одновременно точно измеримы только в том случае, если соответствующие им операторы и имеют общую систему собственных функций


Если две разные физические величины a и b могут быть одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы и должны быть коммутирующими операторами
Обратно, некоммутативность операторов указывает на невозможность такого одновременного точного измерения двух соответствующих им физических величин.
Можно ли одновременно точно измерить координату x частицы и проекцию px ее импульса?

является временное уравнение Шредингера

Если U(x,y,z,t) = U(x,y,z), то такие

силовые поля называются стационарными силовыми полями.
Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)φ(t)




Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме

должна обращаться в нуль и на границах ямы: при x

= 0 и при x = a.


с граничными условиями ψ(0) = 0, ψ(a) =0.

а соответствующее ему значение En – уровнем энергии. Состояние частицы

с наименьшей энергией, в данном случае с n = 1, называется основным состоянием.
Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики.

порога

высоту потенциального порога U0, т.е. E > U0. Такой порог

носит название низкого потенциального порога. В этом случае уравнение Шредингера для областей I и II имеет вид

1982 г сотрудниками исследовательского отдела фирмы IBM Г. Биннигом и

Х. Рёрером.

особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия.

Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д.
Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси x под действием возвращающей квазиупругой силы F = -kx. Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид


Вводя величины


и переходя к новой безразмерной переменной
ξ = x/x0, приводим уравнение к виду

и конечными не при всех значениях параметра η, а лишь

при η = 2n + 1, n = 1, 2, 3,…
Выражая, энергию осциллятора E через η, получаем
En = ћω0(n + ½), n = 0, 1, 2, 3,…
Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора. Энергетические уровни гармонического осциллятора, в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямы, являются эквидистантными, т.е. расположены на одинаковом энергетическом расстоянии ΔE = ћω0 друг от друга.
При значение квантового числа n = 0 имеет место так называемые нулевые колебания – колебаний с энергией E0 = ћω0/2.
Нулевые колебания играют в физике весьма важную роль, в частности они
обусловливают отсутствие кристаллизации
жидкого гелия при нормальном давлении
даже при абсолютном нуле температур.

осциллятор может поглощать и испускать излучение с частотой ω, кратной

ω0, т.е. ω = Δnω0, где Δn – разность квантовых чисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако, на самом деле это не так. Точный расчет, выходящий за рамки данного курса, показывает, что особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями, т.е. Δn = ±1.
Перейдем теперь к анализу волновых функций гармонического осциллятора. Как показано в теории дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, волновые функции, являющиеся решениями уравнения, имеют вид


где Hn(ξ) – полином Чебышева-Эрмита n-го порядка, определяемый выражением

о движении частицы в параболической потенциальной яме является идеализацией, справедливой

лишь при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. Во всех реальных ситуациях потенциальная энергия U(x) частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный вид. Поэтому при возрастании амплитуды колебаний, начиная с некоторых значений амплитуд, движение частицы будет все больше отличаться от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор - ангармоническим осциллятором. Однако в случае малых колебаний влияние ангармонизма ничтожно мало, что позволяет использовать модель гармонического осциллятора для описания колебательного движения квантово-механических систем.