Аксиомы планиметрии 7 класс

– 9. Авторы: Л.С. Атанасян и другие.

“Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.

построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные

положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости.
Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.

«Начала»

качестве исходных.
Или :
Аксиомами называются утверждения, которые принимаются без доказательства.

точка и прямая
Используя основные понятия и

аксиомы даются определения новых понятий, формулируются и доказываются теоремы о свойствах геометрических фигур.

мере две точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не

лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

и только одна лежит между двумя другими.
5. Каждая точка О

прямой разделяет её на две части(два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки

одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

себя.
Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру

Ф1, то говорят, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1, или фигура Ф равна фигуре Ф1.

двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один. 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами:

1)так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k – с лучом k1; 2) так, что луч k совместится с лучом k1, а луч h – с лучом h1 . 11. Любая фигура равна сама себе.

равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
13. Если

фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.

отрезка выражается положительным числом.
Аксиома существования отрезка данной длины:
15. При выбранной

единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

проходит только одна прямая параллельная данной.

провести прямую;
2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
3. Из любого

центра можно описать окружность любого радиуса;
4. Все прямые углы равны;
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых

и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние

углы, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе менее 180°).

прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки

можно провести прямую, и только одну.
2.Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3.Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4.Прямая,принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
5.Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180.Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом,проходящим между его сторонами.

отрезок заданной длины, и только один.
7.От полупрямой на содержащей ее

плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180,и только один.
8.Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
9.На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.