Геометрические места точек

состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.

точки C на заданное расстояние R. Какие при этом возможны

случаи?

расстояние, равное (стороны квадратных клеток равны

1).

Упражнение 3

Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре

Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

для которых XO1

R1 и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре

Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

для которых XO1

R1 или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.

Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не

принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 \ Ф2.

для которых XO1

R1 и XO2 R2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ.

к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру. Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О.

Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.

Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру.

и B.
Упражнение 8

точки.

основанием AB.

место точек С, для которых АС ВС.

Найдите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А,

чем к В. В каком случае таких точек нет?

одинаково удалены от точек А и В и находятся на

расстоянии R от точки С.

для которых AX BX и BX

CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

для которых AX BX или BX

CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.

и одинаково удаленных от его сторон.
Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной

в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b. Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

сторон.
Упражнение 17

AOB.
Упражнение 18

пересекающихся прямых?

место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б)

расположенных ближе к a, чем к b.

одинаково удаленную от этих сторон.

сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M

и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.