Координатный метод

система координат, если через некоторую точку О плоскости проведены две

взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат, а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат. Одна из осей координат называется осью абсцисс, а другая – осью ординат. Ось абсцисс обозначается Ox, а ось ординат – Oy.

x

y

O

1

1

Прямоугольная система координат:
O – начало;
Ox – ось абсцисс;
Oy – ось ординат;
Ox ┴ Oy
на осях выбран масштаб (единичный отрезок)

луча с началом в точке O. Луч, направление которого совпадает

с направлением координатной оси, называется положительной полуосью, а другой – отрицательной полуосью.

x

y

O

Положительные
полуоси

Отрицательные
полуоси

1

1

то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует

упорядоченная пара чисел x, y. Эта пара чисел называется координатами точки M. Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой.

x

y

O

1

1

M (x; y)

X

Y

абсцисса

ордината

осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им

через точку M соответственно. Тогда координаты x, y точки M определяются следующим образом:
x = OM1, если точка M1 принадлежит положительной полуоси;
x = 0, если M1 совпадает с точкой O;
x = – OM1, если точка M1 принадлежит отрицательной полуоси;
y = OM2 , если M2 принадлежит положительной полуоси;
y = 0, если M2 совпадает с точкой О;
y = – OM , если точка M2 принадлежит отрицательной полуоси.

x

y

O

1

1

M

M1

M2

обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса,

на втором записывается ордината).
Если точка M лежит на оси Ox, то она имеет координаты (x; 0), если M лежит на оси Oy, то ее координаты – (0; y).

x

y

O

M (x; 0)

M (0; y)

x

y

O

1

1

1

1

стороны которого равна двум единицам длины, а прямоугольная система координат

выбрана так, как показано на рисунке 1. Тогда в выбранной системе вершины квадрата имеют координаты:
A (0; ); B ( ; 0); C (0; – ); D (– ; 0).

Если система координат выбрана так, как показано на рисунке 2, то координаты вершин данного квадрата в этой системе имеют координаты:
A (1; 1); B (1; –1); C (–1; –1); D (–1; 1).

x

y

O

A

B

C

D

1

1

-1

-1

x

y

O

A (1; 1)

B (1; -1)

C (-1; -1)

D (-1; 1)

Рис. 1

Рис. 2

если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система

координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A (x1; y1) и B (x2; y2). Тогда расстояние d (A, B) = AB между точками A и B можно найти по формуле

x

y

O

A (x1; y1)

B (x2; y2)

x1

x2

y1

y2

Расстояние между точками

для случая, когда и , т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l1 и l2, которые проходят через точки A, B соответственно и параллельны осям Oy, Ox. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Длины сторон AC и BC равны: AC = , BC = . Тогда по теореме
Пифагора

или

x

y

O

l1

l2

A

B

C

верна и для случаев:
а) х1 = х2, y1 y2 (отрезок параллелен оси Oy, рисунок 1);
б) х1 х2, у1 = у2 (отрезок параллелен оси Ox, рисунок 2);
в) х1 = х2, у1 = у2 (точки A и B совпадают).

В случае а) d (A, B) = AB = .

В случае б) d (A, B) = AB = .

Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0.

x

y

O

x

y1

y2

A (x; y1)

B (x; y2)

x

y

O

A (x1; y)

B (x2; y)

x1

x2

Рис. 1

Рис. 2

ABCD, две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и

B (5; 5). Площадь квадрата равна квадрату длины стороны.

Следовательно, SABCD = AB² . Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками




Таким образом, площадь квадрата SABCD = AB = 18 кв. ед.

Ответ: 18 кв. ед.

Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры, если ему

удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре.
Составим уравнение окружности с центром в точке O (x0; y0) и радиусом R.
Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R. Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 .

x

y

O

C

x0

y0

M (x; y)

окружности, тогда СM1 ≠ R, а значит, (x – x1)2

+ (у – у1)2 ≠ R2, т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению
(x – x0)2 + (у – у0)2 = R2 .
Таким образом, уравнение

(x – x0)2 + (у – у0)2 = R2

есть уравнение окружности с центром в точке С (x0; y0) и радиусом R.
Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид

x2 + y2 = R2 .

x

y

O

R

из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A

(–6; 0)
и B (6; 0) равна 104.

Решение.

x

y

O

A

B

M

1) Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM2 + BM2 = 104.
2) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем:


3) По условию задачи (x + 6)2 + y2 + (x – 6)2 + y2 = 104. После упрощения получаем x2 + y2 = 16.
Если точка M (x; y) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM2 + BM2 ≠ 104, а значит, координаты точки M (x; y) не удовлетворяют уравнению x2 + y2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x2 + y2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка.

Пусть A (x1; y1) и B (x2; y2) – произвольные точки плоскости, а точка C (x0; y0) – середина отрезка AB. Найдем координаты х0 и y0.
Найдем координату x0.
1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy, т. е. x1 ≠ x2. Проведем через точки A, B и C прямые, параллельные оси Oy, которые пересекают ось Ox в точках A1 (x1; 0), B1 (x2; 0) и C0 (x0; 0) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C0 (x0; 0) – середина отрезка A1B1, т. е. A1C0 = C0B1 или |x0 – x1| = |x0 – x2|. Отсюда следует, что либо x0 – x1 = x0 – x2, либо x0 – x1 = –(x0 – x2). Так как x1 ≠ x2, то первое равенство невозможно, а значит, верно второе равенство, из которого получаем, что

x

y

O

A

B

C

A1

B1

C0

т. е. x1 = x2. В этом случае все точки

A1, B1, C0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула


верна и в этом случае (рис. 1).




Координата y0 точки C0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2), а соответствующая формула имеет вид

x

y

O

A

B

C

x

y

O

A

B

C

Рис. 1

Рис. 2

где A (x1; y1), B (x2; y2):
x0
y0

–5), B (10; 4). Найдите координаты точек C и D,

которые делят отрезок AB на три равные части.

Решение.

Пусть точки C и D имеют координаты (xC; yC) и (xD; yD).
1) Найдем абсциссы точек C и D.
Так как точка C – середина отрезка AD, то выполняется равенство


так как точка D – середина отрезка CB, то


Решив систему 2xC = xD – 8,
2xD = 10 + xC ,

находим xC = –2, xD = 4.

Для нахождения ординат точек С и D воспользуемся

равенствами


Решив систему
2yC = yD – 5,
2yD = yC + 4,

находим yC = –2, yD = 1.

Ответ: C (–2; –2), D (4; 1).

точки, координаты которых известны.
Пусть на плоскости дана

прямая l и выбрана прямоугольная система координат. Рассмотрим две различные точки A (x1; y1) и B (x2; y2) такие, что прямая l является серединным перпендикуляром для отрезка AB.

1) Если точка M (x; y) лежит на прямой l, то AM = BM. Следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению
(x – x1)2 + (y – y1)2 = (x – x2)2 + (y – y2)2,
которое после преобразования принимает вид
ax + by + c = 0,
где a = 2(x1 – x2), b = 2(y1 – y2), c = x22 + y22 – x12 – y12. Заметим, что хотя бы один из коэффициентов a, b уравнения ax + by + c = 0 не равен нулю, т. к. точки A и B различные, а значит, хотя бы одна из разностей x1 – x2, y1 – y2 не равна нулю.
Таким образом, если точка M лежит на прямой l, то ее координаты удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0, где коэффициенты a и b одновременно не равны нулю.

x

y

O

l

A

B

M

лежит на прямой l, то AM ≠ BM и AM2

≠ BM2, а следовательно, координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0.

Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе
координат является уравнение первой степени

ax + by + c = 0 ,

где a и b одновременно не равны нулю.

x

y

O

A

B

M

l

Если a = 0, то y = c1 – прямая || Ox.
Если b = 0, то y = c2 – прямая || Oy.
Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

прямым углом при вершине C. Найдите множество точек M плоскости,

для каждой из которых выполняется условие AM2 + BM2 = 2CM2.

Решение.

Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной C, а вершины A и B расположены на осях Ox и Oy, как показано на рисунке. Если катет данного треугольника равен a, тогда (0; 0), (a; 0), (0; a) – координаты точек C, A и B в выбранной системе координат соответственно. Пусть (x; y) – координаты точки M, принадлежащей искомому множеству точек.

x

y

C

A

B

если известны их координаты:



По условию задачи AM2 + BM2

= 2CM2, следовательно,

(x – a)2 + y2 + x2 + (y – a)2 = 2(x2 + y2).

Отсюда получаем уравнение x + y – a = 0.
Если точка M (x; y) не принадлежит искомому множеству точек, то
AM2 + BM2 ≠ 2CM2, а значит, координаты точки M не удовлетворяют
уравнению x + y – a = 0. Таким образом, x + y – a = 0 есть уравнение
искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой
лежит гипотенуза AB данного треугольника.

введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и

решать еe, используя знания по алгебре.