Малоизвестные теоремы планиметрии

Методическая разработка

прямого угла, равна половине гипотенузы.

Теорема (обратная). Если медиана треугольника равна

вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD, в его середине.
Найдите

Решение.
Пусть L – точка касания вписанной окружности с DC;
K – точка касания вписанной окружности с AD;
M – точка касания вписанной окружности с AC.
∆ADC – равнобедренный, т.к. DC – медиана прямоугольного треугольника.
Известно, что DL=LC. При этом KD=DL
AK=LC, т.к. ∆ADC – равнобедренный.
AK=AM, MC=LC – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Тогда KD=DL=LC=MC=AK=AM, то есть треугольник равносторонний.

Тогда AD=DC=AC, DAC= DCA= ADC=60˚.

Таким образом, в ∆ABC A=60˚
B=90˚- 60˚=30˚

Ответ: 60˚, 30˚.

проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке

без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.




Доказательство.
Пусть

(

хорде и делит её пополам.

Доказательство.
Пусть АВ – общая хорда

окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, то

Доказательство. Обозначим АС=b, AB=c. Пусть К и L – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС соответственно. Тогда,


откуда

стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то

Доказательство. Пусть окружность касается стороны ВС в точке Р, а продолжения стороны АС – в точке Q. Тогда


откуда AN=p.

его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны,

Доказательство (формулы 2). Обозначим BC=a, AC=b, AB=c. Пусть - центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны ВС; P, N и Q – точки касания этой окружности со стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС соответственно. Тогда



, чтд.