Геометрия Лобачевского

11 класса Баранов Олег
Руководитель: учитель математики Бунакова Ольга Николаевна
МОУ Первоманская

СОШ №2

30.11.2009

аксиома (V постулат Евклида) – лишняя, т.е. она может быть

доказана как теорема на основании остальных аксиом, но большинству из них так ничего и не удалось. Одним из тех, кто попытался сделать переворот в геометрии был Николай Иванович Лобачевский. Возможно, именно его геометрия способствовала бурному развитию современной геометрии.

Николай Иванович Лобачевский и что он сделал для развития геометрии.

Возможно они даже и не пытались узнать об этом.
Эта работа поможет больше узнать о трудах этого человека, а кому-то углубить свои знания!

созданию научно-исследовательских работ

3) Выступление с научно-исследовательской работой на различных мероприятиях

выступлений

своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как

это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица

длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому, как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.

2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p — (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.

3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского.

4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося

радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.

9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии.

теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных

функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».






Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».

теорией относительности .
  Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей

теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского.


Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.

математик Э.Бельстрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что

на этой поверхности действует геометрия Лобачевского!

Пуанкаре: . За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются

дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

лежащими в верхней полуплоскости


    Орициклы изображаются евклидовыми окружностями верхней полуплоскости,

касающимися оси XX, при условии исключения точки касания

Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение, 1998

3) Каган В.Ф. Лобачевский. М., 1948.

4) www.yandex.ru

5) Вахтин Б.М. Великий русский математик Н.И. Лобачевский. М., 1956

6) Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского.