Теорема Чевы, теорема Менелая 7-9 классы

№3 г. Ногинск Московская область
учитель математики
Поповкина Анастасия, МБОУ

СОШ №3
г. Ногинск Московская область
ученица 10 «А» класса

году в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после

чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики.
С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Кстати, брат Джованни, Томасо Чева, также был довольно талантливым и известным математиком, а также поэтом.

кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области

механики.
В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему «О взаимнопересекающихся прямых» о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы.
Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Говоря простым языком, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Она аффинная, то есть теорема эта может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Кстати, отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой - также по имени Джованни Чевы.
Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Аффи́нное преобразование-отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

доработал и популяризировал теоремы Менелая.
Известно, что Джованни был и инженером-гидравликом,

а также экономистом, и несколько раз ему довелось поработать на правительство Мантуи, был он правительственным комиссаром Мантуанского герцогства. В 1728 году он обсуждал проблемы в гидравлике.
Джованни Чева умер 15 июня 1734 года, в возрасте 85 лет; смерть его последовала во время осады Мантуи франко-сардинской армией.

талантливым автором в области экономики - именно он применил математику

к экономике и стал первым математическим писателем по этому предмету.

соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника.

Прямые A A1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Теорема Чевы

Докажем, что

(1) По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:
И

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (1)

Доказательство

О

треугольника ABC. Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1,BB1,СС1 пересекаются в одной

точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на основании доказанного в первом пункте
(2)
Итак, имеют место равенства (1) и (2)
Сопоставляя их, приходим к равенству ,которое показывает, что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказана.

Утверждение обратное теореме:

О

каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема Чевы

и её следствия

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

треугольника пересекаются в одной точке.
Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника

с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1,

считая от вершины.

100 г. н. э.). Автор работ по сферической тригонометрии: 6

книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и астрономии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике.

греческий оригинал утрачен, и содержание его известно по арабским, а

также последующим вторичным латинским и еврейским переводам.
В I книге «Сферики» дается определение сферического треугольника и связанных с ним понятий. В 39 предложении этой книги речь идёт о свойствах сферических треугольников.
В 21 предложении II книги рассматриваются свойства системы параллельных кругов на сфере при пересечении их разными большими кругами — как проходящими через общие полюсы этого семейства, так и наклонными по отношению к этим полюсам. Эта книга опирается на «Сферику» Феодосия.

Книге III предшествуют леммы о составных отношениях, на которых строятся дальнейшие доказательства. Эта книга открывается теоремой о полном четырёхстороннике (известной также как «теорема шести величин» или «теорема о трансверсалях»). Она доказывается сначала для плоского случая, а затем переносится центральным проектированием на сферу. При этом Менелай формулирует её сферический вариант не на языке отношений синусов, как это стали делать впоследствии Ибн Ирак и другие математики стран ислама, но на языке отношений хорд.

(либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно

точки C1,A1 и B1, не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Теорема Менелая

Докажем, что

(3) Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:

и

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:
, откуда

Доказательство

C

B

A

D

N

M

а точки С1 и А1-на сторонах АВ и ВС, причем

так, что выполнено равенство

Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

А

С

B

В1,С1 и А2 лежат на одной прямой, то по теореме

Менелая
(4)
Сопоставляя (3) и (4),приходим к равенству , которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

A

B

C

середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка

пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR.

точка К так, что АК : КD = 3 :

1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

7 –9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем,

оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Вывод

/ А.В.Погорелов.-12-е изд.-М.:Просвещение,2012
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D0%B0,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8;
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A7%D0%B5%D0%B2%D1%8B;
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D0%B9;
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9C%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%8F;
http://festival.1september.ru/articles/414201/;