Окружность. Определения. Теоремы и следствия из теорем 9-11 класс

школа №2122
г. Щербинка, г. Москва
Окружность

из всех точек плоскости, расположенный на заданном расстоянии от данной

точки (центра окружности)
Точка О – центр окружности.
Отрезок , соединяющий центр окружности
с произвольной точкой окружности,
называется радиусом.
ОА – радиус окружности.
Отрезок, соединяющий две любые точки
окружности, называется хордой.
ВС – хорда окружности.
Самая длинная хорда проходит через центр окружности и называется диаметром окружности.
Диаметр окружности равен длине двух радиусов.
EF – диаметр окружности

E

F

окружностью только одну

общую точку, называется касательной.
Точка В – точка касания.
Касательная перпендикулярна к радиусу
окружности, проведенному в точку касания.
АВ  ОВ

Отрезки и прямые, связанные с окружностью.

хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. (см. доказательство)
АВ

– хорда, CD – диаметр.
AB  CD = E

,  AC =  CB
 AD =  DB

Справедливо и обратное утверждение:
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
(см. доказательство)

две дуги пополам.
Дано: АВ хорда, СD –диаметр,
Доказать: АЕ

= ВЕ
Доказательство:
Проведем радиусы ОА и ОВ.
 OAB равнобедренный.
ОЕ высота, проведённая к основанию
равнобедренного треугольника 
ОЕ – медиана и биссектриса. АЕ = ВЕ,
АОЕ = ВОЕ (центральные углы) АС = СВ, АD = DВ.

Что и требовалось доказать.

делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Дано: АВ хорда, СD

–диаметр,
АЕ = ВЕ
Доказать:
Доказательство:
Проведем радиусы ОА и ОВ.
 OAB равнобедренный.
ОЕ медиана, проведённая к основанию
равнобедренного треугольника 
ОЕ – высота и биссектриса. ОЕ  АВ.
АОЕ = ВОЕ (центральные углы) АС = СВ, АD = DВ.

Что и требовалось доказать.

же расстоянии от центра окружности.

AB = CD
OF  AB  OF = OE
OE  CD


Если хорды равноудалены
(находятся на одном и том же
расстоянии) от центра окружности, то они равны.
OF = OE
OF  AB  AB = CD
OE  CD

Свойства хорд и дуг окружности.

AB =  CD  AB = CD

Дуги, заключённые между
параллельными хордами,
равны.
AB CD   AD =  BC

равны.

AE  BE = CE  DE

(см. доказательство)

AE  BE = CE  DE
Дано: AB  CD = E
Доказать: AE  BE = CE  DE
Доказательство:
 ADE и  BCE
 1 =  2 как вписанные углы, опирающиеся
на одну и ту же  BD.
 3 =  4 вертикальные углы.
 ADE подобен  BCE по двум углам. 

или AE  BE = CE  DE

Что и требовалось доказать.

то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания

с окружностью равны.

АС = АВ

Доказательство

длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с

окружностью равны.
АС = АВ

Доказательство

Рассмотрим АОС и  АОВ
ОВ = ОС радиусы
АВО = АСО = 900
(радиусы с касательными)
АО общая  АОС =  АОВ по признаку
Равенства прямоугольных треугольников.
Значит АВ = АС.
Что и требовалось доказать.

из одной точки, справедливо равенство:

AB2= AD  AC

Доказательство

точки, справедливо равенство:
AB2= AD

 AC

Доказательство:
Проведём хорды ВС и BD.  ABC и  ABD подобны по двум углам.
 А – общий, ABC = ADB 

а значит

AB2= AD  AC

Что и требовалось доказать.

равенство: AD  AC = AF AE
Доказательство:

равенство: AD  AC = AF AE
Что и требовалось доказать.
Доказательство:

Проведём из точки А касательную АВ к окружности.
Тогда AB2= AD  AC и AB2= AF  AE 

AD  AC = AF AE

центральным углом.

 АОВ = АВ

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.  ABC = ½ AC

 АСВ = 900

О

В

А

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.  ABC = ADC = AFC

C

касания, равен половине дуги, заключённой между ними.

 DAB = ½ AB = ACB

Угол между двумя секущими,
проведёнными из одной точки вне окружности, равен половине
разности дуг, заключённых
между ними.

 AEB = ½ (AВ - CD)