от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих
эту вершину, равноПроекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии).
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Планиметрические задачи на ЕГЭ 9 класс
Содержание
- 1. Планиметрические задачи на ЕГЭ 9 класс
- 2. Дополнительный теоретический материалВ треугольнике со сторонами a,
- 3. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС
- 4. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на
- 5. Пересекающиеся в точка А и В окружности
- 6. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих
- 7. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две
- 8. Опорные задачиОтрезок общей внешней касательной к двум
- 9. ЕГЭ 2010 года• В треугольнике ABC АВ
- 10. А для окружности вписанной в треугольник
- 11. Пусть точка D лежит на
- 12. Вариант пробного платного ЕГЭ На стороне CD
- 13. РешениеПервый случай, когда точка Р лежит вне
- 14. Второй случай когда точка Р лежит внутри
- 15. Диагностическая работа от 20.10.10 Окружность S радиуса
- 16. Решение Первый случай, когда окружность касается нижнего
- 17. Второй случай, когда окружность касается верхнего основания.По
- 18. Диагностическая работа от 9.12.10 Расстояние между параллельными
- 19. Решение Первый случай, когда С – вершина
- 20. Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=121. По
- 21. Ященко и Со (30 вариантов-2011) В параллелограмме
- 22. Решение Первый случай, когда точки M и
- 23. Ященко и Со (30 вариантов - 2011)
- 24. Решение Первый случай, когда большая сторона прямоугольника
- 25. Во втором случае на основании треугольника лежит
- 26. Ященко и Со (30 вариантов – 2011)
- 27. Решение Пусть ВС = a, АС =
- 28. 5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной
- 29. Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности.
- 30. Если две окружности касаются внешне или
- 31. Расстояние между центрами двух внешне
- 32. Касательная к окружности или ее дуге
- 33. Задача 1. В квадрате АВСD, сторона
- 34. Решение I. Случай, когда искомая окружность касается
- 35. Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный
- 36. Рис. 1, б.
- 37. Рис. 1, в.
- 38. Задача 2 Дан круговой сектор
- 39. Решение.
- 40. Для решения этой задачи проведем из центров
- 41. О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32
- 42. Катет О2М = ОО2 - ОМ =
- 43. Задача 3. На отрезке АВ,
- 44. Решение. Рис. 3.
- 45. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ,
- 46. катетОтсюда получаемПосле необходимых преобразований находим искомый радиус
- 47. Задачи для самостоятельного решения
- 48. Рис. 4.
- 49. Задача 2. Окружность вписана в квадрат со
- 50. Задача 3. Около окружности описан квадрат со
- 51. Задача 4. Две окружности радиусов a
- 52. Задача 5. Внутри квадрата со стороной a
- 53. Скачать презентанцию
Дополнительный теоретический материалВ треугольнике со сторонами a, b, c расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Дополнительный теоретический материал
В треугольнике со сторонами a, b, c расстояние
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии).
Слайд 3Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон
АВ и АС, то расстояние от А до точки касания
окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВСБиссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.
Слайд 4Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров
к сторонам трапеции.
При любом способе касания точка касания и центры
окружностей лежат на одной прямой.При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.
Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R≥r) равно R+r при внешем касании и R-r при внутреннем.
Слайд 5Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду
АВ.
Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
Медиана треугольника
разбивает его на два равновеликих треугольника
Слайд 6Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.
Трапеция разбивается диагоналями
на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два
подобных треугольника (примыкающих к основаниям).Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.
Слайд 7Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от
него треугольник, подобный данному.
Если р - полупериметр треугольника, ra
- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)raРасстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле
Слайд 8Опорные задачи
Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R
и r равен
Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК,
и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B|Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда
Слайд 9ЕГЭ 2010 года
• В треугольнике ABC АВ =12, ВС =
5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС
так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.• В треугольнике со сторонами а, Ь, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно
Решение
Пусть AD = d, BD = x, DC = у.
Тогда для окружности
вписанной в треугольник
ADC имеем
Слайд 10
А для окружности вписанной в треугольник ADB
Поскольку
в условии сказано, что точка D лежит на прямой ВС,
то существует два ее положения, при которых будет выполняться условие BD: DC = 4:9. Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.
Слайд 11
Пусть точка D лежит на отрезке ВС (рис.а).
Тогда
Значит,
2. Пусть точка D лежит
вне отрезка ВС (рис. б). Тогда х = 4, у = х + ВС = = 9. Значит,
Случай расположения точки D правее точки С невозможен.
Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля.
Ответ:
Слайд 12Вариант пробного платного ЕГЭ На стороне CD квадрата ABCD построен равнобедренный прямоугольный
треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АВР, проведенную
из А, если сторона квадрата равна 4.Дано:
AB=4,
CP=PD,
AK-высота.
Найти:
АК
А
В
С
D
Р
Слайд 13Решение
Первый случай, когда точка Р лежит вне квадрата АВСD:
1. CD
= 4, значит CP=PD=
2. Рассмотрим треугольник ВСР, в нем ВС=4,
СР=
По теореме косинусов находим АР=
3. Проведем высоту РН в равнобедренном треугольнике АВР, так как РН = 6, то из формулы площади треугольника найдем АК
АК=
Слайд 14Второй случай когда точка Р лежит внутри квадрата:
Точка Р совпадет
с точкой пересечения диагоналей, поэтому высотой треугольника АВР будет катет
АР=Ответ :
Слайд 15Диагностическая работа от 20.10.10 Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную
трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая
касается основания, большей боковой стороны и окружности S.
Слайд 16Решение
Первый случай, когда окружность касается нижнего основания:
По свойству отрезков
касательных, проведенных из одной точки получаем, что СN=9, ND=16, KD=16.
Треугольник
OKD – прямоугольный, поэтому OD=20.Треугольники OKD и HMD подобны по двум углам, поэтому составим отношение
Пусть MH = у, тогда DH = 8-у, находим у=3
Слайд 17Второй случай, когда окружность касается верхнего основания.
По теореме Пифагора найдем
ОС = 15.
Также используя отношение сторон подобных треугольников получаем пропорцию
То есть у =Ответ: 3 и
Слайд 18Диагностическая работа от 9.12.10 Расстояние между параллельными прямыми равно 12. на
одной из них лежит точка С , а на другой
– точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Слайд 19Решение
Первый случай, когда С – вершина равнобедренного треугольника.
По условию
СН = 12, АС = 13, треугольник АВС- равнобедренный, поэтому
АН = 5, значит, АВ=10.Из формул площади треугольника выразим радиус
То есть
Слайд 20Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12
1. По теореме Пифагора АН=5,
значит НВ=8,
2. Подставив в формулу получаем
Ответ:
Слайд 21Ященко и Со (30 вариантов-2011) В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при
стороне AD делят сторону ВС точками М и N так,
что BM:MN=1:3. Найти ВС, если АВ=6.
Слайд 22Решение
Первый случай, когда точки M и N лежат на
отрезке ВС, считая от вершины В соответственно
По свойству биссектрисы параллелограмма
получаем АВ=ВМ=NC=CD=6.Так как BM:MN=1:3, то MN=18, значит ВС=30.
Второй случай, когда биссектрисы пересекаются в параллелограмме
Тогда BN=CM=6, пусть ВМ=х, MN=3x
х+3х=6, то есть х=1,5, значит ВС=7,5.
Ответ: 30 и 7,5.
Слайд 23Ященко и Со (30 вариантов - 2011) Основание равнобедренного треугольника равно
40, косинус угла при вершине 15/17. Две вершины прямоугольника лежат
на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.
Слайд 24Решение
Первый случай, когда большая сторона прямоугольника лежит на основании.
По
теореме косинусов находим АВ = .
По теореме Пифагора находим BD = 80.
Пусть KN=2x, KD=x, LK=x.
Рассмотрим треугольники ABD и LBP , они подобны по двум углам, поэтому
находим х=16, значит, S=512.
Слайд 25Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника,
тогда
Пусть KN=x, KD=0,5x, LK=2x.
Подставив в пропорцию получим
Получаем х=20, значит S=800.
Ответ:
512 и 800.
Слайд 26Ященко и Со (30 вариантов – 2011) Высота равнобедренного треугольника, опущенная
на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности
равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжения других его сторон.
Слайд 27Решение
Пусть ВС = a, АС = b,
- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC ,
- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.Треугольники ВОК и ВСD подобны, значит,
Подставим известные величины и выразим а через b
Применив теорему Пифагора получаем АС=15, АВ=19,5
Слайд 285. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем
ВМ = 0,5 (19,5∙2+15)=27
6. Из формулы площади треугольника находим радиусы
вневписанных окружностейОтвет: 18 и 11,25
Слайд 29Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном
расположении прямой и окружности.
Слайд 30 Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка
касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой
P
O
O1
O1
O
P
a)
б)
Слайд 31 Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно
сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне
касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностейO
O1
P
d = R+r
a)
б)
d = R-r
Слайд 32 Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу
окружности или ее дуги, проведенному в точку касания
R
O
A
a
a ┴ OA
Слайд 33Задача 1.
В квадрате АВСD, сторона которого равна
а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата
дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.
Слайд 34Решение
I. Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата
АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через
х. Рассмотрим три случая:
Рис. 1, а.
а) Соединим центр окружности О с центром полуокружности О1 и с центром дуги А.
D
В
С
А
O
K1
O1
б) Опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники АМО и ОО1N.
Слайд 35Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен
,
то есть АМ=
или АМ=
.
Теперь рассмотрим треугольник
ОО1N, в котором гипотенуза OO1 = OK1+ K1O1 =
,катет ОN = МN – ОМ = а – х и катет О1N = DN –D О1,
где DN= АМ=
и D О1 =
поэтому О1N =
.
По теореме Пифагора находим OO1 2 = ОN 2 + О1N 2 . Подставляя найденные выражения для OO1 , ОN и О1N в выше написанное уравнение имеем
откуда получаем искомый радиус х = OK =
Слайд 38Задача 2
Дан круговой сектор АОВ радиуса R
с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО
и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.
Слайд 40Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и
О2 радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы О1К и О2К
оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке К и поэтому они лежат на одной прямой О1О2. Получим прямоугольный треугольник ОО1О2 , из которого найдем О1О22 =О1О2 + О2О2 или,так как О1О2= О2К+ О1К =
О1В,
О1О = ОВ - О1В = R - О1В и О2О =
отсюда получаем
Далее центры полуокружностей О1 ,О2 и О3 соединим с центром окружности О4 и из центра О4 этой же окружности опустим перпендикуляры О4М и О4N на радиусы ОА и ОВ сектора АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники О1О4N и О3О4N. Высота О4N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство
Слайд 41О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32 , или (О1О4
- О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 – NО3)
(NО1 +
NО3) . Подставив сюда значения: Следовательно, высота
Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника
О2О4М. Гипотенуза О2О4 = О2К2 + К2 О4 =
Слайд 42Катет О2М = ОО2 - ОМ =
и катет О4М
=
По теореме Пифагора имеем О2О4 2 = О2М 2
+ МО4 2 , или откуда
Слайд 43Задача 3.
На отрезке АВ, равном R, точка
Q – середина; на АQ и на ВQ как на
диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F, находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги ВF.
Слайд 44Решение.
Рис. 3.
Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О1О2 Q и ВО2
Q (Рис.3), получаем (ВО2 + О1О2)(ВО2 - О1О2)=(ВQ + О1Q) (ВQ - О1Q) .Имея в виду, что ВО2 = ВК2 - О2 К2 = R - О2 К2 ,
F
Q
K2
K
K1
K3
K4
P
M
Слайд 45Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО +
О1О) (АО - О1О) =( АМ + О1М) ( АМ
- О1М), гдеАО = АК – ОК = R – ОК,
Поэтому
oткуда
и высота
Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO2 и подставить в уравнение
ОО2 2 = О2P 2 + PO 2 . Меньший катет О2P = О2Q - PQ, где
Слайд 48Рис. 4.
Задача
1. В квадрате АВСD из точки А как из центра
проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.Ответ: Надо рассмотреть отдельно три случая:
Слайд 49
Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из
одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения
с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.Ответ: Два случая:
Рис. 5.
Слайд 50Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а.
На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри
квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.Ответ: Четыре случая:
Рис. 6.
Слайд 51
Задача 4. Две окружности радиусов a и b
(a < b) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена
касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности S1, касающейся двух данных окружностей и проведенной касательной, к радиусу окружности S2, касающейся большей окружности, проведенной касательной и общего диаметра двух данных окружностей,равно
Рис. 7.
Слайд 52Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его
смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности,
касающейся этих двух построенных полуокружностейи одной из сторон данного квадрата.
Рис. 8.
