Подготовка к ЕГЭ. Задание № 14 Круглые тела

г. Урюпинск, Волгоградская область

конусом.
L
О
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса . Круг – основанием

конуса. Точка Р – вершиной конуса. Образующие конической поверхности – образующими конуса. ОР – высота конуса

Р

О

А

В

РАВ - осевое сечение

Р

О

О1

r

r1

Сечение плоскостью перпендикулярной к его оси

Конус

основания О равен 5, а его высота равна

. Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB.
Докажите, что угол ANO – прямой.
Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если АВ=8.

Решение.

S

O

A

B

M

H

N

a) М- середина SA, MN SB, N- середина АВ

b) Пусть Н- середина АO

основания конуса с вершиной S, причем А и С диаметрально

противоположны. Точка М – середина ВС.
a) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
b) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ=6, ВС=8, AS=

Решение.

O

A

B

S

C

T

M

a)

b)

,

точки А, В и С так, что АВ=ВС. Медиана АМ

треугольника ACS пересекает высоту конуса.
Точка N- середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=

Решение.

N

A

B

C

S

M

K

a) Так как медиана АМ треугольника ACS пересекает высоту конуса, то плоскость ACS содержит высоту конуса. Значит, АС – диаметр основания конуса и SN – его высота.

b)

Пусть К – середина ВС, тогда искомый угол будет равен углу АМК

сечение конуса – треугольник с углом

при вершине М. Образующая конуса равна . Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
Найдите площадь сечения.

Решение.

О

M

K

A

B

T

a) Пусть треугольник МАВ – искомое сечение, перпендикулярное образующей МК, и пусть Т- точка его пересечения с диаметром, проходящим через точку К.

b)

и L1, называется цилиндром
Осевое сечение
Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси
Цилиндр

одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С,

а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1- образующая цилиндра, а АС- диаметр основания . Известно, что

a) Докажите, что угол между прямыми ВС и АС1 равен

b)Найдите расстояние от точки В до АС1.

Решение.

А

В

С

С1

В1

a) Пусть ВВ1- образующая цилиндра, тогда ВВ1С1С - прямоугольник

b)

К

одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а

на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1- образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
Докажите, что угол АВС1 прямой.
Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8.

Решение.

А

В

С

С1

В1

К

О

О1

a)Рассмотрим пл., проходящую через ось цилиндра и АС1. Обозначим точку пересечения этой пл. и окружности основания, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1- образующая, АС- диаметр.

b)

равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24

и 10. Расстояние между этими хордами равно
Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение.

О

О1

A

B1

B

a)

b)

высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда АВ, равная

радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный АВ. Построено сечение ABMN, проходящее через прямую АВ перпендикулярно прямой CD так, что точка С и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
Найдите объем пирамиды CABNM

Решение

О

А

B

M

N

D

C

H

a)

b)

На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и

В, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1- образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
Докажите, что угол АВС1 прямой.
Найдите площадь боковой поверхности, если АВ=16, ВВ1=5, В1С1=12.

Ответ: b) 100π

2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1- образующая цилиндра, а АС- диаметр основания . Известно, что

a) Докажите, что угол между прямыми ВС и АС1 равен

b)Найдите объем цилиндра.

Ответ: b) 4π

радиус основания равен 13, а высота равна

. Точки А и В – концы образующих, М – середина SA, N- точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.
Докажите, что ANO – прямой угол.
Найдите угол между MB и плоскостью основания, если АВ=10.

Ответ: b)