Сечения многогранников плоскостью

необходимые при построении
Построение сечения
Задача. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей

через три точки, одна из которых лежит в плоскости верхнего основания, а две другие – на несмежных боковом ребре и ребре нижнего основания.

Задача по теме «Сечения многогранников плоскостью»

Автор: Ракина Алёна, IV курс, 3 группа

через три точки, одна из которых лежит в плоскости верхнего

основания, а две другие – на несмежных боковом ребре и ребре нижнего основания.
Определите тип задачи.
Сечение задано тремя точками, не лежащими на одной прямой.
Что дано в задаче?
Дана пятиугольная призма; три точки (в плоскости верхнего основания, на несмежных боковом ребре и ребре нижнего основания).
Что требуется задачей?
Построить сечение данной призмы плоскостью, проходящей через данные точки.
Какие существуют методы построения сечения многогранника плоскостью?
Метод следа; метод внутреннего проектирования.


Нарисуем данные задачи.

Начало

ABCDEA1B1C1D1E1;
Точки K, M, P.
Построить:

Сечение плоскостью,
проходящей через
точки K, M, P.

Сечение будем строить методом внутреннего проектирования.

A

B

C

D

E

K

P

Для того, чтобы построить сечение потребуется вспомнить…

A1

E1

D1

B1

C1

M

Построение

одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А2. Если две

точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Следствия из аксиом
Сл 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Сл 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Свойство параллельных плоскостей
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Стр. 1 1 2

A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов, называется

призмой.






Основные свойства параллельного проектирования
Проекция прямой есть прямая.
Проекция отрезка есть отрезок.
Проекция параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой.
Проекция параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Стр. 1 1 2

Начало

Алгоритм построения

a

b

B1

B2

Bn

A1

A2

An

Многоугольники A1A2…An и B1B2…Bn – основания призмы.
Параллелограммы A1A2B2B1, …, AnA1B1Bn – боковые грани.

на одной прямой
Есть ли грань, содержащая две точки, задающие плоскость

сечения

нет

Можно построить пересечение плоскости сечения и грани

Строим параллельные проекции данных точек на плоскость основания

Строим плоскость I, содержащую две из данных точек и их проекции

Строим пересекающую её плоскость II, содержащую третью данную точку с её проекцией и одно из ребер, на котором мы ищём точку сечения

Найдём точку пересечения прямой, содержащей две данные точки из плоскости I, и прямой пересечения плоскостей I и II

Проведем прямую через точку пересечения прямых и третью данную точку

Эта прямая пересекает ребро

Точка пересечения и есть искомая

Эта прямая пересечет прямую пересечения плоскости грани и плоскости II

Достаточно найденных точек для построения сечения

нет

Строим искомое сечение, соединяя найденные точки пересечений плоскости сечения и плоскостей граней многогранника

нет

да

да

Начало

Построение

DD1.
Построим проекцию PM на плоскость верхнего основания. Получим отрезок PM1.
Найдём

точку пересечения плоскости ADD1 и PM.
Прямая KF1 будет пересекать ребро DD1 в искомой точке O.
Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром A1E1.
Построим проекцию KM на плоскость нижнего основания. Получим отрезок A1M.
Построим проекцию PE на плоскость нижнего основания. Получили отрезок P1E1.
Спроектируем точку пересечения P1E1 и A1M, точку N, на KM. Получим точку N1.
Прямая PN1 пересекает P1E1 в точке L. Эта точка принадлежит секущей плоскости.
Прямая ML пересекает A1E1 в точке R.
Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром AB.
Строим проекцию KP на плоскость нижнего основания. Получим отрезок A1P1.
Найдём точку пересечения плоскости BM1M и KP. Это точка Q1.
Прямая MQ1 пересекает BM1 в точке G. А прямая PG пересекает AB в точке S, а ребро CD – в точке T.
Соединяем найденные точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы. STOMRK – искомое сечение.

A

B

C

D

E

K

P

A1

E1

D1

B1

C1

M

M1

F

F1

T

S

O

N

N1

R

P1

L

Q

Q1

G

Начало

Алгоритм построения