Признаки равенства треугольников

равенства треугольников»
Задачи по теме «Второй признак равенства треугольников»
Задачи по теме

«Третий признак равенства треугольников»
Справочный материал (формулировка теоремы и ее доказательство):
а) Первый признак равенства треугольников
б) Второй признак равенства треугольников
в) Третий признак равенства треугольников

против угла NDL:
3) угол, лежащий против стороны DN:
4) угол, лежащий

против стороны DL:
5) углы, прилежащие к стороне NL: и

Треугольник

Рис. 1

OMN

Решение:
1) Рассмотрим OLF и

:
а) OL = - по условию,
б) OF = - по условию,

Задача. Заполните пропуски.

Следовательно OLF = - по двум сторонам и углу между ними.

Рис. 2

в) LOF = - как вертикальные углы.

BRS







а) Сторона =

- по условию.
б) Сторона = - общая сторона.
в) = - по условию.
г) Следовательно, ARS = - по двум
и углу .
2) Т. к. ASR= BSR, то соответственные стороны и углы равны, BR = AR = 18 см, BRS = ARS =

15˚

Решение:

1) Рассмотрим ARS и

Рис. 3

BZO

Решение:


A
X
B
Z
O


1) Рассмотрим BZO и
У них:

а) Сторона = - по условию;
б) = - по условию;
в) = - как вертикальные.
Следовательно AXO = - по стороне и двум прилежащим к ней .

Рис. 4

что ADF = BDF;
б) Найдите сторону

BD и DBF.
Решение:
а) Рассмотрим ADF и .
У них: 1) = - общая сторона;
2) = - по условию;
3) = , так как DF –

17 дм

110˚

биссектриса ADB.
Следовательно, ADF = по и прилежащим к ней .
б) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, то есть сторона DB = = дм, B = = .

˚

Рис. 5

= BAN
б) Найдите ABN.

Решение:
а) Рассмотрим

и BAN.
У них: 1) AC = - по условию;
2) CN = - по условию;
3) AN = AN – общая сторона.
Значит, CAN = - по трем .
б) Из равенства треугольников CAN и BAN следует равенство соответствующих углов, то есть ABN = = .

Рис. 6

˚

A и D равны (рис. 7). Докажем, что ABC

= DEF.
Так как A = D, то треугольник ABC можно наложить на треугольник DEF так, что вершина A совместится с вершиной D, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи DE и DF. Поскольку AB=DE, AC=DF, то сторона AB совместится со стороной DE, а сторона AC – со стороной DF; в частности, совместятся точки B и E, C и F. Следовательно, совместятся стороны BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, значит, они равны.

Рис. 7

C

A

B

D

E

F

Теорема

Доказательство

Теорема доказана.

DE, A = D,

B = E (рис. 8). Докажем, что ABC= DEF.
Наложим треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, сторона AB – с равной ей стороной DE, а вершины C и F оказались по одну сторону от прямой DE.
Так как A = D и B= E, то сторона AC наложится на луч DF, а сторона BC – на луч EF. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче DF, так и на луче EF и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной F. Значит, совместятся стороны AC и DF, BC и EF.
Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, поэтому они равны.

Теорема доказана.

C

A

B

Рис. 8

D

E

F

Доказательство

= DE, BC = EF, CA = FD (рис. 9).

Докажем, что ABC = DEF. Приложим треугольник ABC к треугольнику DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, вершина B – с вершиной E, а вершины C и F оказались по разные стороны от прямой DE (рис. 10).
Возможны три случая: луч FC проходит внутри угла DFE (рис. 10, а); луч FC совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 10, б); луч FC проходит вне угла DFE (рис. 10, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи можете рассмотреть самостоятельно).
Так как по условию теоремы стороны AC и DF, BC и EF равны, то треугольники DFC и EFC – равнобедренные (см. рис. 10, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 = 2, 3 = 4, поэтому DCE = DFE. Итак, AC = DF, BC = EF, C = F.
Следовательно, треугольники ABC и DEF равны по первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Рис. 9

A

C

B

F

D

E

D (A)

C

F

E (B)

D (A)

E (B)

C

F

Рис. 10

а)

б)

в)

E (B)

C

F

D (A)

1

3

2

4