Перпендикулярность прямой и плоскости

1254
Выполнил:

перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) , если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярность прямых a и b обозначается так: a ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рисунке 1 перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещивающиеся.

a

b

c

90°

Рис. 1

, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Докажем лемму

о перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей прямой

Лемма:

Доказательство:
Пусть a || b и a ⊥ b. Докажем, что b ⊥ c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a ⊥ c, то AMC = 90°.
По условию b || а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ⊥ c.

Рис. 2

b

a

C

A

M

c

если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикулярность

прямой а и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости α имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, прямая а пересекает плоскость α.

нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости.

Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

α

a

Рис. 3

и их перпендикулярностью к плоскости
Если одна из двух параллельных прямых

перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Рассмотрим две параллельные прямые а и b и плоскость α, такую, что а⊥α. Докажем, что и b ⊥ α.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рисунок 4). Так как а ⊥ α, то а ⊥ х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b ⊥ х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b ⊥ α.

Доказательство:

Рис. 4

α

a

b

x

прямые а и b, перпендикулярные к плоскости α (рисунок 5,

a). Докажем, что а || b.
Через какую-нибудь т. M прямой b проведем прямую q, параллельную прямой а. По предыдущей теореме q ⊥ α. Докажем, что прямая q совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а || b. Допустим, что прямые b и q не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и q, через т. M проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости α и β (рисунок 5, б). Но это невозможно, следовательно а || b.

Доказательство:

Рис. 5, а

α

a

q

Рис. 5, b

α

a

M

c

b

b