Третий признак равенства треугольников

Василий Александрович

треугольник в заданной расположении относительно данной полупрямой. (аксиома IV3)
В равнобедренном

треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. (теорема 3.5)
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. (теорема 2.3)
Доказательство от противного.

треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники

равны

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
– равнобедренные с общим основанием С1С2.
По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
перпендикулярны прямой C1C2.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
– равнобедренные с общим основанием С1С2.
По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
перпендикулярны прямой C1C2.
А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
– равнобедренные с общим основанием С1С2.
По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
перпендикулярны прямой C1C2.
А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.
Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
– равнобедренные с общим основанием С1С2.
По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
перпендикулярны прямой C1C2.
А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.
Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1.
В первом случае точка С2 совпадает с С1, так как А1С1 = АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.

Дано: АВС и А1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1
---------------------------------------------------
Доказать: АВС = А1В1С1


Доказательство
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А1В1С2, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Допустим, что вершина С2 не лежит
ни на луче А1С1 ни на луче В1С1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2
– равнобедренные с общим основанием С1С2.
По теореме 3.5 их медианы А1D и В1D
перпендикулярны прямой C1C2.
А так как через точку D прямой С1С2 можно провести только
одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка D по построению не лежит на прямой А1В1.
Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче А1С1, либо на луче В1С1.
В первом случае точка С2 совпадает с С1, так как А1С1 = АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники

равны