Объем фигур в пространстве

фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу объема принимается

куб, ребро которого равно единице измерения длины.

Для объемов пространственных фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам площадей плоских фигур, а именно:
1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом.
2. Равные фигуры имеют равные объемы.
3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф1 и Ф2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф1 и Ф2, т.е.
V(Ф)=V(Ф1)+V(Ф2).
Две фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

- пересекающая эти плоскости прямая; F – фигура на одной

из этих плоскостей, F’ – ее параллельная проекция на другую плоскость в направлении прямой l. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным цилиндром. Фигуры F и F’ называются основаниями обобщенного цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой обобщенного цилиндра.

В случае, если в определении обобщенного цилиндра вместо параллельной проекции берется ортогональная, т. е. прямая l перпендикулярна плоскостям α и π, то обобщенный цилиндр называется прямым. В противном случае цилиндр называется наклонным.

Частным случаем обобщенного цилиндра являются цилиндр и призма.

его основания на высоту.
Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению

трех его измерений, т. е. имеет место формула

Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула

где a, b, c – ребра параллелепипеда.

где S – площадь основания, h – высота призмы.

Следствие 3. Объем прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле

числом; б) нулем?
Ответ: а) Нет;
б) да.

кубов равны единице?
Ответ: Семь куб. ед.

ед.

проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 1 см. Найдите объем

оставшейся части.

Ответ: 20 см3.

уменьшенной в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 :

3; в) 1 : n?

Ответ: а) 1 : 8;

б) 1 : 27;

в) 1 : n3.

его объем увеличится на 98 см3. Определите ребро куба.
Ответ: 3

см.

5 см и образуют угол в 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда

составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем этого параллелепипеда.

Ответ: 140 см3.

его измерений увеличить в 2 раза, в 3 раза, в

n раз; б) если два его измерения увеличить, причем каждое из них в 2, 3, n раз; в) если все три его измерения увеличить в 2, 3, n раз?

Ответ: а) Увеличится в 2 раза, в 3 раза, в n раз;

б) увеличится в 4 раза, в 9 раза, в n2 раз;

в) увеличится в 8 раз, в 27 раз, в n3 раз.

1 см. Найдите объем цилиндра.

раза шире. Какая кружка вместительнее?
Ответ: Та, которая шире.

плоскости основания под углом φ. Найдите объем цилиндра.

его стороны, равной a.
Ответ: π⋅a3.

около каждой из неравных его сторон a и b. Как

относятся объемы цилиндров?

Ответ: a : b.

3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см.

Найдите объем данной призмы.

Ответ: 60 см3.

см и высота 8 см.
Ответ: 200 см3.

20 см и объем 4800 см3.
Ответ: 12 см.

боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?
Ответ:

1 : 3.

м2. Площади диагональных сечений равны 3 м2 и 6 м2.

Найдите объем призмы.

Ответ: 3 м3.

h, а сторона основания равна a.

вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?
Ответ: В

2 раза.

деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12

см. Чему равен объем детали?

Ответ: 243π см3.

под углом φ к этому основанию. Радиус основания цилиндра равен

R. Найдите объем части цилиндра, отсекаемой плоскостью.

Ответ: πR3tgϕ.

со стороной 1, а высота равна 0,5.