Векторы в пространстве

отрезок:
A
B
Точка А – начало вектора, В – конец вектора. Записывают:

a

Обычную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого начало совпадает с конечной точкой. Такой вектор называется нулевым и обозначается: или .

A

Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем (или абсолютной величиной) вектора, т.е.

Естественно, что

I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами.

A

B

Векторы и являются противоположными. Очевидно, что:

или на параллельных прямых:
a
b
c
Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково

Обозначение коллинеарных векторов:

– соноправленные векторы, , – противоположно направленные векторы.

m

n

Два вектора называются равными, если: 1) они соноправлены; и 2) их модули равны, т.е.

вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости:
Углом между

вектор. При сложении двух векторов применяются правила треугольника или параллелограмма:
1)

2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают из общей начальной точки, т.е. , где F – вершина параллелограмма, противоположная общей начальной точке векторов.

что при сложении соноправленных векторов получается вектор, соноправленный с данными

При сложении противоположно направленных векторов получается вектор, соноправленный с вектором, имеющим бóльшую длину и его модуль равен … (подумайте, чему?):

вектор. При вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника –

–

векторами – умножение вектора на число k. В результате этого

В школьном курсе геометрии изучается скалярное произведение векторов. В результате

Геометрически скалярное произведение векторов можно понимать как площадь параллелограмма (или противоположная ей величина), стороны которого образуются одним из данных векторов и вектором, перпендикулярным второму с таким же модулем:

α – острый угол

α – тупой угол

координатного пространства. Вспомним, что любая точка пространства задается тремя координатами

A(x1;y1;z1)

B(x2;y2;z2)

Если принять вектор за параллельный перенос начальной точки A(x1;y1;z1) в конечную точку B(x2;y2;z2), то координаты вектора показывают: на сколько изменяются соответствующие координаты начальной точки при параллельном переносе в конечную, т.е.

Т.к. модуль вектора равен длине изображающего его отрезка, то:

III. Координаты вектора. Действия в координатах.

соответствующие координаты, т.е.
При вычитании векторов, заданных координатами, нужно найти разности

Умножение вектора, заданного координатами, на число выполняется так:

Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, т.е.

Условием коллинеарности двух векторов, заданных координатами, будет пропорциональность их соответствующих координат:

Самостоятельно разберитесь, когда и .

векторов можно было разложить по двум оставшимся, т.е.
A
B
C
D
Напомним как это

система имеет единственное решение, то векторы

Любой вектор пространства можно разложить по трем некомпланарным векторам, т.е.

Аналитически разложение любого вектора по трем некомпланарным векторам сводится к решению системы:

А решение этой системы – числа x, y и z являются коэффициентами разложения вектора по трем векторам

x

y

z

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

0

1

1

1

решать некоторые геометрические задачи с помощью векторов. Этот способ получил

A

B

C

M

N

S

O