Двоичная система счисления. Двоичная арифметика

правила записи чисел с помощью специальных знаков – цифр,

а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Алфавит системы счисления – это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

такая система, в которой значение цифры не зависит от её

места (позиции) в записи числа.



Примеры:
унарная
римская
славянская
и другие…

Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

только натуральные числа
запись больших чисел –
длинная (1 000 000?)

младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается

из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MCXLIV = 1000 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1144
MCXLIV =

2279 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C L X X I X

M M

CC

LXX

IX

I – 1
V – 5
X – 10
L – 50
C – 100
D – 500
M – 1000

=

компьютере представлена в виде двоичного кода.
Компьютер переводит информацию (числовую,

текстовую, графическую, звуковую, видео) в последовательность нулей и единиц.
То есть в компьютерах используется двоичная система счисления (СС).

на 2)

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа

и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.
Записать полученные остатки в обратной последовательности.

степенного ряда числа 2)

Число разбивается на составные числа, взятые из

степенного ряда двойки.

55

2. Присутствие числа записывается 1, отсутствие – 0
7310 = 64 + 8 + 1 = 10010012

в записи числа.
Схема Горнера: 6 3 7 5

= ((610 + 3)10 + 7)10 + 5
Плюсы схемы:
для вычислений не нужно использовать возведение в степень;
удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой.

6 3 7 5

5

70

300

6000

3 2 1 0

разряды

= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100

развёрнутая форма записи числа

Определения

+ a1p 1 + a0p 0
Через развёрнутую запись:
Через схему Горнера:
12345

= 153 + 252 + 351 + 450 = 194

=1

разряды: 3 2 1 0

разряды: 3 2 1 0

a3a2a1a0 = ((a3p + a2)p + a1)p + a0

12345 = ((15 + 2)5 + 3)5 + 4 = 194

основание системы счисления

основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0

и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

1011 2 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20

Вернемся к нашему примеру и запишем число 110111
через развернутую форму:

разряды 6 5 4 3 2 1 0
10010012 = 1 * 26 + 0 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 +
+ 1 * 20 = 26 + 23 + 20 = 64 + 8 + 1 = 7310

6 3 7 5 = 6·10-1 + 3·10-2 + 7·10-3

+ 5·10-4

Развёрнутая форма записи:

разряды: -1 -2 -3 -4

Схема Горнера:

0, 6375 = 10-1·(6 + 10-1·(3 + 10-1·(7 + 10-1·5)))

0, 1 2 3 45 = 1·5-1 + 2·5-2 + 3·5-3 + 4·5-4

0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))

перевод в десятичную систему

перевод в десятичную систему

из десятичной СС в двоичную
5010 → ?2
8510 → ?2
17410

→ ?2
Перевести числа из двоичной СС в десятичную
101110 2 → ?10
10101012 → ?10
111000112 → ?10

0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
перенос
заём
1

0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12

1

1

0

0

1

0

1

1

0

2

1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12

1





0 102

1

0

0 1 1 102

0

1

0

1

1

1

1 0 12
1 0

1 0 12
+ 1 0 1 0 12

1 1 0 1 0 0 12

1 0 1 0 12
– 1 1 12

1 1 12

1

1 1 12
– 1 1 12

0