Сиcтемы счисления

набора цифр, символов
?

символа
не зависит

от его положения в заданном числе.

Рассмотрим РИМСКУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

прибавляется к ней, стоящая слева - отнимается. Поэтому знак VI

означает 5+1, то есть 6, а знак IV -5-1, то есть 4. Научиться читать числа, записанные в римской нумерации, нетрудно. Позднее появились значки и для обозначения других чисел. Так 100 стали обозначать буквой С (первая буква соответствующего латинского слова - centum), число 1000 - буквой М (mille - тысяча), число 500 - буквой D, буквой L - число 50.
В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D= 500
M = 1000

Примеры чисел :
31 – ХХХI
99 – IC
46 – XLVI
1989 – MCMLXXXIX
M – 1000
CM – 900
LXXX – 80
IX - 9

цифры зависит от его позиции в данном числе.
Позиции цифры называют

разрядом . Разряд числа возрастает справа налево.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

?

с произвольным основанием(S) , можно представить в виде суммы степеней

основания(S)

?

называется основанием.
Основание показывает во сколько раз различаются значения цифр соседних

разрядов чисел.

Наиболее распространенной в настоящее время являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатиричная позиционные системы счисления.

?

не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 - основание системы, и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.
В современном русском языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, восемьсот пятнадцать тысяч триста девяносто четыре). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять и т.д.). В основе этого словообразования лежит число десять, и поэтому наша система наименований называется десятичной системой счисления.

Десятичная система счисления

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Пример:

1205(10)= 1000+200+0+5 =1*103 + 2*102 +0*101 +5*100

Количество цифр, при помощи которых записываются числа = 10
Основание = 10

?

и 1, а также символы «+» и «-» для обозначения

знака числа, «,» для разделения целой и дробной части. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Например, при подаче сигнала тока возможны 2 случая - есть сигнал (1)

Двоичная система счисления

0, 1

Пример: 1101(10)=1*23 + 1*22 +0*21 +1*20 =

8+4+0+1

Количество цифр, при помощи которых записываются
числа = 2 Основание = 2

Примеры записи двоичного числа: 11012, 11110112, 102

?

?

4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем

разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное).

Восьмеричная система счисления:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Пример: 1205(8)=1*83

+ 2*82 +0*81 +5*80 = 1*512 + 2*64 + 0*8 + 5*1

Количество цифр, при помощи которых записываются числа = 8 Основание = 8

Примеры записи восьмеричного числа: 1378, 405618, 608

?

компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10

из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Шестнадцатиричная
Система
счисления:

помощи которых записываются числа
= 16 Основание

= 16

Примеры записи шестнадцатиричного числа: 1116, A3516, EF16

?

двоичными числами

системы счисления

системы счисления

ПРАВИЛО

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в

десятичную достаточно представить число в виде суммы степеней основания системы счисления, выполнить вычисления. Полученное число является десятичным числом.

?

+ 3*81 +7*80 = 512 + 128 +24 =66410
Пример

:
Число 1001112 перевести в десятичную систему счисления
Воспользуемся таблицей степеней числа 2

5 4 3 2 1 0
1001112 = 1*25 +0*24 +0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 =32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 3910

Пример :

Число 12378 перевести в десятичную систему счисления
Воспользуемся таблицей степеней числа 8

ричную системы счисления и обратно

в восьмеричную систему счисления.

Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления

001 001 0112 = 1138

ПРАВИЛО
Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример

в шестнадцатеричную систему счисления его нужно разбить на тетрады (четверки

цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления
0010 1110 00112 = 2Е316

Пример

?

числами в восьмеpичной или шестнадцатеpичной системах пpоводятся по тем же

пpавилам, что и в десятичной системе. Только надо помнить, что если имеет место пеpенос, то пеpеносится не после 10, а 8 или 16.

Примеры