ЕГЭ 2017 Задача B7 "Применение производной к исследованию функций"

способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций,

Содержание задания В7 по КЭС

Исследование функций
4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков
4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

знакомства с математическими «портретами»;
сформировать начальное представление об истории развития математического

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :

способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).

РАЗВИВАЮЩАЯ :

развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

ЦЕЛЬ УРОКА

производной ?
2. В любой ли точке графика можно провести

3. Касательная наклонена под тупым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .

4. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .

5. Касательная наклонена под прямым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .

6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает. Следовательно, • • • .

}

значение производной в точке Х₀

}

тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ

угловой коэффициент касательной

f ´(x₀) = tg α = к

90°
вопросы
α - тупой
tg α < 0
f ´(x₀) < 0

α

α = 90°
tg α не сущ.
f ´(x₃) не сущ.

α = 0
tg α =0
f ´(x₂) = 0

(a , b ) функции,
графики которых будут представлены ниже.
А.

Б. В каждой точке можно
провести касательную.

В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.

Г. В каждой точке касательная
наклонена под острым углом.

Д. Существует конечное число точек, в которых f ´(x) = 0 .

Е. Существует конечное число
точек, в которых f ´(x) не
существует .

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

+

–

–

+

+

Анализ наблюдений (фактов).
2. Обобщение фактов.
3. Проверка и выдвижение нового

Какая?

на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

+

–

–

+

+

и
,то
свойства
f(x):
свойства
f '(x):
.
1
функция возрастает на промежутке и имеет на нем

f ´(x) ≥ 0

f ´(x) ≥ 0

функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную

Утверждение верно ???

Почему ???

тестов.
y = f /(x)
 








1 2 3 4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

–

+

+

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

4 точки экстремума,

Ответ:
2 точки минимума

-8

8

на отрезке [– 6; –1]
Ответ: xmax = – 5


1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8

8

точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

-8

8

В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7

-8

8

(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

Ответ: 1

В ответе укажите длину наибольшего из них.


1 2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 5.

-8

8

функции у =f (x) принимает наибольшее значение?


1 2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: – 4.

-8

8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.

функции у =f (x) принимает наименьшее значение?


1 2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: – 1.

-8

8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.

Математический портрет

и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите

Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga — угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим ∆ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если касательная «смотрит вниз» - отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна нулю).

Решение.

Ответ: 3.

Теоретические сведения.

и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите

Решение.

Ответ: - 0,75 .

А

В

С

А

В

С

Ответ: - 3 .

a)

б)

касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через

Решение.
Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. В качестве точек с целочисленными координатами, лежащих на касательной, можно взять начало координат и точку касания. Дальнейшее решение очевидно:

Ответ: 1,5.

6

4

определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в

Решение.

Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.

Ответ: 6.

интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.
Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.

Решение.

y = 2

Ответ: 5 .

тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с

№7. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.

Теоретические сведения.

Решение.

если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.

Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.

Ответ: 7.

к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало

х0= - 4

х0= 4

1

3

4

2

Решите самостоятельно!

Ответ: 2.

Ответ: 2.

Ответ: 0,5.

Ответ: 3

В-19; 22

В-24

В-29

В-26

На рисунке изображен график функции y = f

Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.

Решение.

Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.

Ответ: 4.

Теоретические сведения.

определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых

a)

б)

Решите самостоятельно!

Решение.

Целые решения при :
х=-2; х=-1; х=5; х=6.
Их количество равно 4.

Целые решения при :
х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
Их количество равно 5.

Ответ: 4.

Ответ: 5.

определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых

Решите самостоятельно!

a)

б)

Решение.

Целые решения при :
х=2; х=7; х=8.
Их количество равно 3.

Целые решения при :
х=-1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10.
Их количество равно 6.

Ответ: 3.

Ответ: 6.

на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная

Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

Ответ: 5.

– Почему

Ньютон
(1643-1727)
английский учёный
Жозеф Луи
Лагранж
(1736-1813)
французский математик и механик
"САМАЯ ТОНКАЯ

дифференциальное
исчисление

Готфрид
Лейбниц
(1646-1716), немецкий философ и математик.

математический анализ

Штрихи к портрету

связь между свойствами функции (монотонность, экстремумы) и значениями производной (существование,

План

1. Изучить обратную связь.
2. Научиться её применять к решению задач.

ХОДЕ УРОКАМ ПРОИЗОШЛО

Оцените по 5-бальной системе работу на уроке