Разделы презентаций


Элементы комбинаторики

Содержание

Комбинаторика - раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, как правило, конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Элементы комбинаторики
Ахмеджанова Т.Д.

Элементы комбинаторикиАхмеджанова Т.Д.

Слайд 2Комбинаторика
- раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов

некоторого, как правило, конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Комбинаторика	- раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, как правило, конечного множества в соответствии

Слайд 3Множество
Всякая совокупность элементов произвольного рода, обладающая некоторым общим свойством, образует

множество (соединение).

МножествоВсякая совокупность элементов произвольного рода, обладающая некоторым общим свойством, образует множество (соединение).

Слайд 4Примеры множеств:
множество всех действительных чисел,
множество натуральных чисел,
множество всех студентов

данного университета,
множество парт в данном классе.

Примеры множеств:множество всех действительных чисел, множество натуральных чисел,множество всех студентов данного университета,множество парт в данном классе.

Слайд 5Множество считается определенным, если указаны все его элементы или указано

их общее свойство.
Множества, содержащие конечное число элементов, называются конечными.

Характеристикой конечного множества является число его элементов.
Множество считается определенным, если указаны все его элементы или указано их общее свойство. Множества, содержащие конечное число

Слайд 6Множество, состоящее из n элементов, называется упорядоченным, если каждому элементу

этого множества поставлено в соответствие натуральное число от 1 до

n таким образом, что различным элементам соответствуют различные натуральные числа.
Всякое конечное множество можно упорядочить.

Множество, состоящее из n элементов, называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие натуральное число

Слайд 7Правило суммы
Пусть некоторый предмет А может быть выбран m способами,

а другой предмет В может быть выбран n способами. Тогда

имеется m + n возможностей выбрать либо предмет А, либо предмет В.

Правило суммыПусть некоторый предмет А может быть выбран m способами, а другой предмет В может быть выбран

Слайд 8Правило суммы

Правило суммы

Слайд 9Задача 1
От сквера Кирова до академгородка можно проехать через Ангарский

мост, плотину и новый мост. В первом случае количество дорог

равно 2, во втором — 2, в третьем — 3. Сколькими способами можно добраться от сквера Кирова до академгородка ?
Задача 1От сквера Кирова до академгородка можно проехать через Ангарский мост, плотину и новый мост. В первом

Слайд 10Решение
2+2+3=7

Решение2+2+3=7

Слайд 11Правило произведения
Пусть некоторый предмет А может быть выбран m способами,

а другой предмет В может быть выбран n способами. Тогда

имеется mn возможностей выбрать предмет А и предмет В.

Правило произведенияПусть некоторый предмет А может быть выбран m способами, а другой предмет В может быть выбран

Слайд 12Правило произведения


Правило произведения

Слайд 13Задача 2
В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида

открыток. Сколькими способами можно купить конверт и открытку?

Задача 2В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида открыток. Сколькими способами можно купить конверт и

Слайд 14Решение
5 · 4 = 20

Решение5 · 4 = 20

Слайд 15Задача 3
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из

слова КОНВЕРТ?

Задача 3Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова КОНВЕРТ?

Слайд 16Решение
Гласную можно выбрать двумя способами.
Согласную — пятью способами.
Ответ.

2 · 5 = 10.
к
о
Н
В
Е


Р

Т

РешениеГласную можно выбрать двумя способами. Согласную — пятью способами.Ответ. 2 · 5 = 10. к о Н

Слайд 17Задача 4
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и

чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Задача 4Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били

Слайд 18Решение
64 · 49 = 3136

Решение64 · 49 = 3136

Слайд 19Задача 5
«Тёмное , чистое небо торжественно и необъятно высоко стояло

над нами со всем своим таинственным великолепием».
Сколько осмысленных предложений

можно составить, вычёркивая некоторые слова этого предложения? (Во все предложения обязательно должны входить подлежащее небо и сказуемое стояло.)
Задача 5	«Тёмное , чистое небо торжественно и необъятно высоко стояло над нами со всем своим таинственным великолепием».

Слайд 20Решение
небо
стояло
тёмное
чистое
торжественно
и высоко
над нами
со всем
великолепием
таинственным
своим
необъятно

Решениенебостоялотёмноечистоеторжественнои высоконад намисо всем великолепиемтаинственнымсвоимнеобъятно

Слайд 21Задача 6
От Братска до Иркутска можно добраться поездом, самолётом, автобусом,

теплоходом. Из Иркутска до Листвянки можно доехать на автобусе, либо

на теплоходе. Сколькими способами можно проехать от Братска до Листвянки?
Задача 6	От Братска до Иркутска можно добраться поездом, самолётом, автобусом, теплоходом. Из Иркутска до Листвянки можно доехать

Слайд 22Решение
Б
И
Л

РешениеБ И Л

Слайд 23Задача 7
У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по

10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну

марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?
Задача 7	У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной

Слайд 24Решение

Решение

Слайд 25Задача 8
На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На

сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это дуга, соединяющая Северный

полюс с Южным. Параллель — это окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).
Задача 8На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это

Слайд 26Решение
Меридианы делят глобус на 24 части, а параллели делят каждую

часть ещё на 17 + 1 = 18 частей.

Решение	Меридианы делят глобус на 24 части, а параллели делят каждую часть ещё на 17 + 1 =

Слайд 27Задача 9
Сколькими способами из колоды (36 карт) можно выбрать 4

карты разных мастей и достоинств?

Задача 9	Сколькими способами из колоды (36 карт) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

Слайд 28Решение
В каждой масти по 9 карт.
Из каждой масти выбираем по

1 карте, учитывая достоинство уже выбранной ранее карты.

РешениеВ каждой масти по 9 карт.Из каждой масти выбираем по 1 карте, учитывая достоинство уже выбранной ранее

Слайд 29Факториал
произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно (читается

n–факториал).
n! = 1•2•3•…•n
Замечание: 0! = 1! =1.
n!

Факториалпроизведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно (читается n–факториал). n! = 1•2•3•…•nЗамечание: 0! = 1!

Слайд 30Перестановки
Число различных способов, которыми может быть упорядочено данное множество, состоящее

из n элементов, называется числом перестановок множества и обозначается Pn.

ПерестановкиЧисло различных способов, которыми может быть упорядочено данное множество, состоящее из n элементов, называется числом перестановок множества

Слайд 31Перестановки без повторений

Перестановки без повторений

Слайд 32Задача 10
Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых цифры 2,

3, 4, 5 встречаются ровно по одному разу?

Задача 10	Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых цифры 2, 3, 4, 5 встречаются ровно по одному

Слайд 33
Решение
2
3
4
5
2
4
5
2
5
5


4
3
2
1

Решение2 3 4 5 2 4 5 2 5 5 4 3 2 1

Слайд 34Задача 11
Сколько трёхзначных чисел можно получить из цифр 1,2,3, если

цифры в числе не повторяются?

Задача 11	Сколько трёхзначных чисел можно получить из цифр 1,2,3, если цифры в числе не повторяются?

Слайд 35Решение

Решение

Слайд 36Перестановки с повторениями
Пусть имеются предметы k различных типов.
Сколько перестановок

можно сделать из n1 элементов первого типа, n2 элементов второго

типа,..., nk элементов k-го типа?

Перестановки с повторениями	Пусть имеются предметы k различных типов. 	Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа,

Слайд 37Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями

Слайд 38Задача 12
Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас», так, чтобы

получались разные «слова»? Смысл «слов» значения не имеет.

Задача 12	Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас», так, чтобы получались разные «слова»? Смысл «слов» значения не

Слайд 39Решение
«Ананас» - 6:
а – 3; н – 2; с

– 1.
А
А
А
Н
Н
С

Решение«Ананас» - 6: а – 3; н – 2; с – 1.А А А Н Н С

Слайд 40Задача 13
К Маше пришли 7 подружек. Сколькими способами можно рассадить

8 человек за столом?

Задача 13	К Маше пришли 7 подружек. Сколькими способами можно рассадить 8 человек за столом?

Слайд 41Решение

Решение

Слайд 42Задача 14
8 девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать

в круг?

Задача 14	8 девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг?

Слайд 43Решение
Девушки могут перемещаться по кругу.
Число перестановок уменьшается в 8 раз.


Ответ: 7!

Решение	Девушки могут перемещаться по кругу.	Число перестановок уменьшается в 8 раз. 	Ответ: 7!

Слайд 44Задача 15
Сколько ожерелий можно составить из 8 различных бусин?

Задача 15	Сколько ожерелий можно составить из 8 различных бусин?

Слайд 45Решение
Ожерелье можно вращать.
Его можно и перевернуть.
Число перестановок уменьшается ещё вдвое.
Ответ:

7!/2

РешениеОжерелье можно вращать.Его можно и перевернуть.Число перестановок уменьшается ещё вдвое.Ответ: 7!/2

Слайд 46Размещения
Число упорядоченных k элементных подмножеств множества из n элементов называется

числом размещений из n элементов по k и обозначается

РазмещенияЧисло упорядоченных k элементных подмножеств множества из n элементов называется числом размещений из n элементов по k

Слайд 47Размещения

Размещения

Слайд 48Задача
В машине 7 мест, включая водительское. Поедут 7 человек. Сколько

существует способов распределения пассажиров по местам, если права есть лишь

у троих?
Задача	В машине 7 мест, включая водительское. Поедут 7 человек. Сколько существует способов распределения пассажиров по местам, если

Слайд 49Решение
(3*6!=2160)

Решение	(3*6!=2160)

Слайд 50Задача
У людоеда в подвале томятся 25 пленников. Сколькими способами он

может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и

ужин?
Задача	У людоеда в подвале томятся 25 пленников.  Сколькими способами он может выбрать трех из них себе

Слайд 51Решение

Решение

Слайд 52Задача
Сколько существует 4-значных чисел, в записи которых встречаются только нечетные

цифры?

Задача	Сколько существует 4-значных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры?

Слайд 53Решение

Однозначных нечётных чисел ровно 5.
К каждому однозначному нечётному числу

вторая нечетная цифра может быть дописана 5 различными способами.
Далее –

по аналогии:

1

3

5

7

9

1

3

5

7

9

1

3

5

7

9

1

3

5

7

9

РешениеОднозначных нечётных чисел ровно 5. К каждому однозначному нечётному числу вторая нечетная цифра может быть дописана 5

Слайд 54Задача
Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и

В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из

4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.
Задача	Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не

Слайд 55Решение
3 + 32 + 33 + 34 = 120
А
В


Б

Решение	3 + 32 + 33 + 34 = 120А В Б

Слайд 56Сочетания
Если из n элементов составлять группы по m элементов

в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе,

то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями без повторений из n элементов по m.
Сочетания Если из n элементов составлять группы по m элементов в каждой, не обращая внимания на порядок

Слайд 57Сочетания

Сочетания

Слайд 58Задача.
В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится

матчей, если участвуют 12 команд?

Задача.	В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если участвуют 12 команд?

Слайд 59Решение.

Решение.

Слайд 60Задача.
В группе 10 стрелков, из них 6 снайперов. Для выполнения

боевой задачи нужно отобрать 5 стрелков, причем снайперов должно быть

не меньше 4. Сколькими способами это можно сделать?
Задача.В группе 10 стрелков, из них 6 снайперов. Для выполнения боевой задачи нужно отобрать 5 стрелков, причем

Слайд 61Решение
Не меньше 4 – это значит, что снайперов должно быть

либо 4, либо 5.4 снайпера из 6 можно выбрать способами,

остальных стрелков выбираем из оставшихся 4 стрелков (10-6) способами. Проводим аналогичные рассуждения, когда в группе снайперов 5.

Решение	Не меньше 4 – это значит, что снайперов должно быть либо 4, либо 5.4 снайпера из 6

Слайд 62Задача.
В классе 24 ученика, из них 8 отличников. Нужно выбрать

12 человек так, чтобы среди них было хотя бы 5

отличников. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ: 901628
Задача.	В классе 24 ученика, из них 8 отличников. Нужно выбрать 12 человек так, чтобы среди них было

Слайд 63Свойства сочетаний

Свойства сочетаний

Слайд 64Решить систему уравнений:

Решить систему уравнений:

Слайд 65Решение

Решение

Слайд 66Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля является одной из наиболее известных и изящных

числовых схем во всей математике.
Блез Паскаль, французский математик и

философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике".

Треугольник ПаскаляТреугольник Паскаля является одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике. Блез Паскаль,

Слайд 67Треугольник Паскаля
Эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года

- даты выхода в свет трактата.
В 1529 году треугольник

Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.

Треугольник ПаскаляЭта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата. В

Слайд 68Изображен треугольник на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского

математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.
Омар Хайям, бывший

философом, поэтом, математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.
Изображен треугольник на иллюстрации книги

Слайд 69Построение треугольника Паскаля
Треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица "треугольной

формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят

единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке.
Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Построение треугольника ПаскаляТреугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица

Слайд 70Свойства строк
Сумма чисел n-й строки Паскаля равна (потому что при

переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а

для нулевой строки она равна =1)

Свойства строк	Сумма чисел n-й строки Паскаля равна		 (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма

Слайд 71Свойства строк
Все строки треугольника Паскаля симметричны (потому что при переходе

от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая

строка симметрична).
Свойства строк	Все строки треугольника Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности

Слайд 72Свойства строк
Каждый член строки треугольника Паскаля с номером n тогда

и только тогда делится на т, когда т- простое число,

а n - степень этого простого числа
Свойства строк	Каждый член строки треугольника Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда

Слайд 73Нахождение элемента треугольника
Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить тремя

способами:
где n - номер строки, k- номер элемента в

строке;
оно равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над данным.

Нахождение элемента треугольника		Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить тремя способами: 		где n - номер строки, k-

Слайд 74Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех

чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на

пересечении которых стоит данное число, причем сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются.

Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика