Элементы комбинаторики. Решение комбинаторных задач

составить трехзначное число, в котором ни одна цифра не может

1 способ. Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: 224, 227, 242, 272, 244, 277, 247, 274 – 8 чисел.

Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 4: 442, 447, 424, 474, 422, 477, 427, 472 – 8 чисел.

Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 7: 772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742 – 8 чисел.

Ответ. 24 числа.

где на первом месте стоит цифра 2. Составим дерево возможных

погулять к реке, на площадь или в парк и потом

вечер

прогулка

дом

река

площадь

парк

Витя

Вика

Витя

Вика

Витя

Вика

ТВ

книга

брат

стол

брат

стол

Всего 10 вариантов

пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком

СОСТАВИТЬ ИЗ ПЯТИ ЮНОШЕЙ И ВОСЬМИ ДЕВУШЕК.
Решение.
Каждый из пяти юношей

Поэтому различных танцевальных пар можно составить 5 ∙ 8 = 40.

Выполненные при решении этих задач рассуждения опираются на следующее утверждение.

Ответ. 40 танцевальных пар.

независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число

6, 8 (БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ), ТАКИХ, КОТОРЫЕ НАЧИНАЮТСЯ С ЦИФРЫ 3? А.

Решение

На первое место можно поставить только одну цифру – 3

На второе место можно поставить любую из трёх: 4, 6 или 8

На третье место можно поставить любую из двух оставшихся цифр

На четвертое место можно поставить одну оставшуюся цифру

Используя правило умножения получаем 1∙3∙2∙1=6

Ответ. В

ИЗ ЦИФР 2, 4, 6, 8(БЕЗ ПОВТОРЕНИЯ). А. 360

Решение

Все числа состоят из одних и тех же цифр, значит сумма цифр каждого числа одинаковая и равна 2+4+6+8= 20.

Выясним сколько таких четырехзначных чисел существует.

На первое место можно поставить любую из четырех данных цифр.

На второе место любую из трёх оставшихся цифр.

На третье место любую из двух оставшихся цифр.

На четвёртое место одну оставшуюся цифру.

По правилу умножения получаем 4∙3∙2∙1=24 числа.

Сумма цифр 24 чисел составляет 24∙20=480.

Ответ Б.

МАЛЬЧИКОВ, НУЖНО ВЫБРАТЬ ОДНУ ДЕВОЧКУ И ОДНОГО МАЛЬЧИКА ДЛЯ ВЕДЕНИЯ

Решение

Применим правило умножения: девочку можно выбрать 15 способами,

мальчика – 10 способами,

пару мальчик – девочка – 15 ∙ 10 = 150 способами.

Ответ. 150

СПОСОБАМИ МОГУТ РАСПРЕДЕЛИТЬСЯ ТРИ ПРИЗОВЫХ МЕСТА?
Решение
На первое место можно поставить

на второе – любую из 9 оставшихся,

на третье – любую из 8 оставшихся.

По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720.

Ответ. 720.

БЫТЬ ЧЕТЫРЕ УРОКА: ДВА УРОКА МАТЕМАТИКИ, УРОК ЧТЕНИЯ И УРОК

Решение

Урок чтения можно поставить на любой из четырёх уроков,

Урок физкультуры – на любой из трёх оставшихся.

После этого для двух уроков математики останется единственный вариант поставить их в расписание.

По правилу умножения общее число способов составить расписание на среду равно 4 ∙ 3 = 12.

Ответ. 12.

ОБМЕНЯЛСЯ ВИЗИТНОЙ КАРТОЧКОЙ. СКОЛЬКО ВСЕГО ПОНАДОБИЛАСЬ КАРТОЧЕК?
Решение.
Каждый из 30 участников

Значит, всего было роздано 30 ∙ 29 = 870 карточек.

Ответ. 870.

2, 4, 6?
Решение
На первое место можно поставить любую из цифр,

на второе место – любую из 4 цифр и

на третье – тоже любую из 4 цифр.

По правилу умножения общее количество вариантов равно 3 ∙ 4 ∙ 4 = 48.

Ответ. 48.

БЛЮДА И 3 ВИДА СОКА. СКОЛЬКО МОЖНО СОСТАВИТЬ ВАРИАНТОВ ОБЕДА

Решение

Первое блюдо можно выбрать 2 способами,

второе блюдо – 4 способами и

третье блюдо – 3 способами.

По правилу умножения общее количество вариантов равно 2 ∙ 4 ∙ 3 = 24.

Ответ. 24.

в кухне шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином

Предположим, что первой садится бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула.

Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся

Мама делает свой выбор третьей, и выбор у нее будет из 4 стульев

У папы будет уже 3 варианта, у дочки – 2, ну а у сын сядет на единственно незанятый стул.

По правилу умножения имеем 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 .

Ответ. 720 дней.

и называют «эн факториал»: n! = 1 ∙ 2 ∙

Задача № 2. В 9 «А» классе в среду семь уроков: алгебра, геометрия, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?
Решение

Для алгебры – 7 вариантов.

Для геометрии – 6 вариантов.

Для литературы – 5 вариантов и т. д.

По правилу умножения получаем: 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! = 5040.

Ответ. 5040.

порядке.

Теорема о перестановках элементов конечного множества:

n различных элементов можно

Рn=n!

2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е

Решение

Используя теорему о перестановках имеем:4-е друга могут занять по одному 4-е различных места ровно
4! способами.

Pn = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Ответ. 24 способа

N ОБОЗНАЧИТЬ ВЕРШИНЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА?
Решение

Используя теорему о перестановках имеем:4-е различные буквы можно записать по одной около 4-ех различных вершин многоугольника ровно 4! способами.

Pn = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Ответ. 24 способа

ЦИФР, МОЖНО ЗАПИСАТЬ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР 1, 2, 4, 6,

Решение

Т.к. числа должны быть нечётными, то на последнем пятом месте может быть только нечётная цифра – это 1.

Осталось 4-е цифры(2, 4, 6, 8) и 4-е разряда.

Используя теорему о перестановках имеем: Pn = 4! = 24

Ответ. 24 числа.

МОЖНО ЗАПИСАТЬ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР 1, 2, 3, 4, 5?
Решение
Т.

Найдем сколько пятизначных чётных чисел, которые оканчиваются цифрой 2.

Осталось 4-е цифры(1, 3, 4, 5) и 4-е разряда. Применяя теорему о перестановках имеем: Pn = 4! = 24 числа.

Рассуждая аналогично, получим, что пятизначных чётных чисел, оканчивающихся цифрой 4, тоже 24.

Получаем: 24 + 24 = 48.

Ответ. 48 чисел.

1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи

Решение

Решим эту задачу, используя правило умножения.

В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных четырёх цифр, а на втором – любая из трёх оставшихся.

По правилу умножения таких двузначных чисел: 4 ∙ 3 = 12

Ответ. 12 чисел.

3, 4) были образованы всевозможные соединения по 2 элемента в

Такие соединения называются размещениями.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений из m элементов по n элементов обозначают

Формула для вычисления:

=

m!

(m-n)!

В КОТОРОМ СТОЯТ 20 ОДНОМЕСТНЫХ СТОЛОВ
Решение
Задача сводится к нахождению числа

Используя формулу для вычисления числа размещений имеем

Ответ. 6840

РАСПИСАНИЕ НА ПОНЕДЕЛЬНИК, ЕСЛИ В ЭТОТ ДЕНЬ ДОЛЖНО БЫТЬ 6

Решение

Найдем число размещений из 9 элементов по 6 элементов в каждом.

Применяя формулу получаем:

Ответ. 60480

ПОМОЩЬЮ БУКВ A, B, C, D, E, F?
Решение
Задача опять сводится

Получаем:

Ответ. 360

ИЗ ИХ СОСТАВА СТАРОСТА И КАЗНАЧЕЙ?
Решение
Для того, чтобы ответить на

Ответ. 870

РАЗЛИЧНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЗАНЯТЬ КОМАНДАМ ПЕРВЫЕ ТРИ МЕСТА?
Решение
Найдем размещения из 10

Ответ. 720

двух. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Из пяти шахматистов можно составить

2, которые отличаются только составом пар.
Такие соединения называются сочетаниями.

=

m!

(m-n)!

n!

ИЗ 9 ЧЛЕНОВ НАУЧНОГО ОБЩЕСТВА.
Решение
Создание групп из трех человек без

СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ ИЗ СОСТАВА ХОРА ДВУХ ДЕВОЧЕК И ОДНОГО

Решение
Составление пар из числа девочек без учета их порядка расположения – есть сочетание.


Мальчика можно выбрать 4 способами.
Используя правило умножения, получаем
4 ∙ 15 = 60
Ответ. 60 вариантов.

АПЕЛЬСИНОВ. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ ИЗ НИХ МОЖНО ВЫБРАТЬ 2 ЯБЛОКА И

Решение
Выбор 2 яблок из 5(порядок не важен) – сочетания.


Выбор 2 апельсинов из 6(порядок не важен) – сочетания.


По правилу умножения – 10 ∙ 15=150.
Ответ. 150 способов.

РАЗНОЦВЕТНЫХ СКАКАЛКИ. СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ НАБОР ИЗ ДВУХ МЯЧЕЙ,

Решение
Найдем сколько различных вариантов выбора мячей.


Найдем сколько различных вариантов выбора кубиков.


Найдем сколько различных вариантов выбора скакалок.


3 ∙10 ∙ 6 = 180. Ответ. А