Это загадочное число Пи

буква из школьного курса геометрии намного интереснее при ближайшем рассмотрении

и изучении, имеет свою историю, очень много значит для математиков — они без неё просто никуда, и даже имеет свой праздник?

 

марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что

соответствует приближённому значению числа π.

это число π.

частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту

пирамиды, вырабатывается числом 3,1416. В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу». Из этого следует, что у Ахмеса π ≈ 3,1605. Так началась письменная история π.

а в Древней Греции числом (

) ≈ 3,1462643. В индийских «сутрах» VI – V в. до н.э. имеются правила, из которых вытекает, что π = 3,008. Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Аршабхата (V – VI в.):
Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,
Потом ещё шестьдесят две тысячи прибавь,
Как поделить результат на двадцать тысяч,
Тогда откроется тебе значение
Длины окружности к двум радиусам отношенья

т.е. =

периметры вписанных и описанных многоугольников от шести до 96-ти. Такой

метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении почти 2000 лет. Архимед получил:

, т.е. π ≈ 3,1418

Долгое время все пользовались значением числа, равным

- числом 3,1415927; это значение записывалось в виде именованного

числа:
3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фень 5 ме 9 хао 2 мяо 7 хо.

16-ю верными знаками, рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 80.035.168

сторонами.

Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI в. с помощью 230-угольников получил 17 верных десятичных знаков

π, дошёл до многоугольников с 602 029 сторонами, и получил

35 верных знаков для π. Учёный обнаружил большое терпение и выдержку, несколько лет затратив на определение числа π. В его честь современники назвали π – «Лудольфово число». Согласно завещанию на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

впервые встречается у английского математика Уильяма Джонсона (1706 г.), а

после опубликования работы Леонарда Эйлера
(1736 г. Санкт-Петербург), вычислившего значение π с точностью до 153 десятичных знаков, обозначение π становится общепринятым.

Уильям Джонсон

Леонард Эйлер

канонического текста Библии, датируемого примерно X-V веками до нашей эры.

В третьей книге Царств подробно рассказывается о том, как мастер Хирам сооружал по заказу правителя Иудейского Израильского царства Соломона храм.

Царь Соломон, держащий в руках изображение храма

названием «медного моря»: «И сделал литое из меди море, -

от края его до края его десять локтей, - совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом.» (Третья книга Царств. Гл. 7, стих 23.)

должна была быть 31,415926… локтей, а не просто 30 локтей

как написано в библии! Любой школьник может сказать вам, что длину окружности круга можно найти, умножив диаметр на пи. Эта явная математическая ошибка заставила нас, как христиан, сомневаться в точности Библии.

до наружного обода, так, как любой человек и будет измерять

круглый предмет. Окружность длиной в 30 локтей, однако, является внутренним кругом, после вычитания толщины меди (две ладони одна на каждую сторону), из которой был сделан сосуд. Это и будет необходимым числом для вычисления объема воды.

древний опыт по экспериментальному определению числа пи и на основании

данных оценим погрешность измерения.
Формула для измерения очевидна:
где L - длина окружности,
а D - её диаметр.

видно, что абсолютные погрешности каждой из величин составляют не менее

0,5 локтя. Мы тем самым берём половину последней значащей цифры, если считать, что каждое из чисел имеет две значащие. Вариант, что погрешность измерения была больше, обсудим в конце вычислений. Рассчитаем измеренное число пи

как среднеквадратичное от относительных погрешностей данных величин:


Рассчитаем абсолютную погрешность измерения

с учётом этой формулы


следовательно ответ записывается в виде

укладывается в ответ, полученный экспериментально несколько тысяч лет назад. Выходит,

что если рассуждать не поверхностно, а с точки зрения методов науки, противоречия между текстом Писания и действительностью нет.

это открытие тысячу лет до нашей эры, задолго до того

как греки снова нашли число пи.
 
 

вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив

длину L (46,5 см) одного полного оборота нити, разделим L на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т.е. π = , π = 46,5 см / 15 см.
π = 3,1. Данный довольно грубый способ даёт в обычных условия приближённое значение числа
π с точностью до 1.

Простейшие вычисления

Получили результаты представленные в таблице:
Простейшие вычисления

него круг. Вырежем квадрат. Вырежем из квадрата круг.

помощью школьных весов. Взвесим круг. Зная массы квадрата mкв (10

г) и вписанного в него круга mкр (7,8 г), воспользуемся формулами m=rV, V=Sh, где r и h-соответственно плотность и толщина картона, S-площадь фигуры. Рассмотрим равенства: mкв = r S кв h = r 4 R2 h,
mкр = r Sкр h = r π R2 h.
Отсюда mкр : mкв = π : 4, π = 4 mкр : mкв.

(а,0), В (b,0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре.

Разделим отрезок АВ на n равных частей точками х1,х2,…,хn-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра - это значение функции f(x) =

Площадь S полукруга можно вычислить по формуле

В нашем случае b = 1, a = -1. Тогда π ≈ 2S.

***
30 INPUT N
40 DX 1/N
50 FOR I=0 TO

N-1
60 F=SQR(1-X^2)
70 X=X+DX
80 A=A+F
90 NEXT I
100 P=4*DX*A
110 PRINT «ЗНАЧЕНИЕ p РАВНО»; P
120 STOP

полукруг.

название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого

своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить и при помощи … дождя.

и впишем в квадрат круг. Если такой чертёж некоторое время

подержать под дождём, то на его поверхности останутся следы капель.

что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур,

так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр - число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда π=4Nкр/Nкв

*** ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ ***
20 REM *** МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ***

30 INPUT N
40 M=0
50 FOR I=1 TO N
60 T=INT (RND(1)*10000)
70 X=INT(T/100)
80 Y=T-X*100
90 IF X^2+Y^2<10000 THEN M=M+1
100 NEXT I
110 P=4*M/N
120 PRINT " ЗНАЧЕНИЕ ПИ РАВНО" ; P
130 STOP

Предположим, что для неё в точке x0 существуют производные всех

порядков до n-го включительно. Тогда для функции f(х) можно записать ряд Тейлора:

Тейлора "
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d

= 1 / (i + 2)
f = (-1) ^ i * d
a = a + f
NEXT i
p = 4 * a
PRINT "значение пи равно"; p
END