Логические законы

при любых значениях, входящих в них логических переменных.
В

алгебре логики имеется ряд законов,  позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

отрицание исключает отрицание.
2. Переместительный (коммутативный) закон:
        — для

логического сложения:
А v B = B v A;
        — для логического умножения:
A&B = B&A.
        Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.
        В обычной алгебре a + b = b + a,  a x b = b x a.

сложения:
(A v B) v C = A v (B

v C);
        — для логического умножения:
(A&B)&C = A&(B&C).
        При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
        В обычной алгебре:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
а x (b x c) = a x (b x c) = a x b x c.

сложения:
(A v B)&C  = (A&C) v (B&C);
        —

для логического умножения:
(A&B) v C = (A v C)&(B v C).
        Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.
        В обычной алгебре:
(a + b) x c = a x c + b x c.

— для логического сложения
`  А v B = A &

B ;
        — для логического умножения:
  А & B = A v B

 6. Закон идемпотентности ( от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный):
        — для логического сложения:
A v A = A;
        — для логического умножения:
A & A = A.
        Закон означает отсутствие показателей степени.

A v 1 = 1,      A v 0 = A;

        — для логического умножения:
A & 1 = A,     A & 0 = 0.
8. Закон противоречия:
A & A = 0.
        Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
        9. Закон исключения третьего:
A v A = 1.
        Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

v (A&B) = A;
        — для логического умножения:
A

& (A v B) = A.
11. Закон исключения (склеивания):
        — для логического сложения:
(A&B) v ( A&B) = B;
        — для логического умножения:
(A v B)&( A v B) = B.

X = 1;
2) X v X v X v X

v X v X = 1;
3) X & X & X & X & X = X.
 
3.23. Определите, каким законам алгебры чисел (сочетательному; переместительному; распределительному; аналога нет) соответствуют следующие логические тождества:
а) А v B = B v A;
б) (A&B)&C = A&(B&C);
в) А v (В&С) = (А v В)&(А v С);
г) (A v B)&C = (A&C) v (B&C).

3.24. Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах  входящих в него простых высказываний.  Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-ложное.
(А&B&B ) v (A&A ) v (B&C&C ).

принимает значения 1 на всех наборах  входящих в него простых

высказываний.  Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-истинное.
(А&B&C ) v (A&B&C) v (A&B) .

3.26. Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул.
а) А v ( A&В);
б) А&( Av В);
            в) (A v B)&( Bv A)&( CvB).