Мастер -класс "Решение задач на смеси, сплавы и растворы методом чаш"

к ГИА и ЕГЭ

Филиппова Оксана Николаевна
учитель математики МОУ Лицей
г.

Усть-Кут Иркутской области

или смеси однородны.
Масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов
Не

делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости
Смешивание различных растворов происходит мгновенно.
Объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов.
Объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

отношение его массы к общей массе всей смеси. (если в

120 г воды добавим 30 г поваренной соли, то общая масса раствора станет 150 г, а концентрация соли в растворе 30:150=0,2 - дробью или 20%)

6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить

при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Аналитическая модель:
Переведем проценты в дроби:
6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08
Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди,
а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди.
Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди,
то получим уравнение:
0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08
х = 12


Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди

65%-ный. Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л

раствора, содержание вещества в котором равно 30%?
Решение
(применение линейного уравнения)
Пусть надо взять х л первого раствора и (200-х) л второго, тогда кислоты будет взято 0,15х+0,65(200-х) или 0,3∙200.
Составим уравнение 0,15х+0,65(200-х)=60
х=140
140 л первого раствора
200-140=60 (л) второго раствора

Ответ: 140литров, 60литров

1 кг, содержит 50% золота. Второй, массой 2 кг, содержит

20% золота. Сколько процентов золота будет содержать сплав из этих кусков?
Решение
(арифметический способ)





3:100=0,03(кг) сплава приходится на 1%.
Сплав содержит 0,9: 0,03=30% золота в сплаве.

Ответ: 30%

6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества.
Сколько процентов

составляет концентрация полученного раствора?

Решение
(применением линейного уравнения)









4 + 6 = x ⇒ x = 10;
0,6 + 1,5 = у ⇒ y = 2,1.
y : x = 2,1 : 10 = 0,21
0,21 · 100 = 21%
Ответ: 21%

содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого

сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

1. Изобразим сплавы в виде прямоугольников
М С М С
+ =
х(г) (200 –х) (г) 200 (г)
0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3 *200 х = 140
2. Обозначим
М С М С
+ =
х(г) у(г) 200(г)
х + у = 200
0,15х + 0,65у =0,3 *200
х = 140 и у = 60
Ответ: 140г меди и 60г свинца

15%

65%

30%

15%

65%

30%

для приготовления 100г 20% раствора.

Даны 2 куска с различным содержанием золота. Первый, массой 1

кг, содержит 50% золота. Второй, массой 2 кг, содержит 20% золота. Сколько процентов золота будет содержать сплав из этих кусков?

Решение задач методом чаш

а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится

килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

10 кг
курага

0,12
воды

х-10 кг
вода

1

х кг
Свежие абрикосы

0,8
воды

+ =

Ответ: 44 кг свежих абрикосов

Решение задач методом чаш

х=44

вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества.

Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

4 л

0,15

6 л

0,25

10

х

+ =

х = 0,21

Ответ: 21 %

Решение задач методом чаш

некоторое количество чистой воды, в результате чего концентрация кислоты в

растворе снизилась до 37,5%. Сколько литров воды было добавлено?

10 л

0,45

х л

0

10 + х

0,375

+ =

Ответ: 2 литра

Решение задач методом чаш

х=2

подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности

60%. Сколько кг было свежих грибов?

х-15 кг
Сухие грибы

0,6
воды

15 кг
вода

1

х кг
Свежие грибы

0,9
воды

+ =

Ответ: 20 кг свежих грибов

Решение задач методом чаш

х=20

содержащие 40% и 60% олова. По сколько граммов от каждого

куска надо взять, чтобы получить 600 граммов сплава, содержащего 45% олова?

х г
Слиток 1

0,4
олова

600-х г
Слиток 2

0,6
олова

600 г
сплав

0,45
олова

+ =

Ответ: 450г и 150 г

Решение задач методом чаш

х=450

грамм 6%-ой соли, чтобы получить раствор, содержащий 10% соли.

80-х г
Раствор

2

0,1 соли

х г
вода

0

80 г
Раствор 1

0,06

+ =

Ответ: 32 грамма воды

Решение задач методом чаш

х=32

когда он немного усох, то стал содержать 98% воды.
Сколько

теперь весит арбуз?

х кг
Арбуз 2

0,98
воды

20-х кг
вода

1

20 кг
Арбуз 1

0,99
воды

+ =

Ответ: 10 кг весит арбуз

Решение задач методом чаш

х=10

первый массой 300 грамм 20% олова, а второй содержит 40%

олова массой 200 грамм. Сколько % олова будет содержать сплав из этих кусков?

300 г
Кусок 1

0,2

200 г
Кусок 2

0,4

500 г
Сплав

х

+ =

Ответ: 28 % олова

Решение задач методом чаш

х=0,28

кг, содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к

этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий
60% меди?

36 Кг
Сплав 1

0,45
меди

Х кг
медь

1 меди

36+ х
Сплав 2

0,6 меди

+ =

Ответ: 13,5 кг меди

Решение задач методом чаш

х=13,5

кг, содержит 45% меди. Сколько кг олова надо прибавить к

этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал
40% меди?

Кг
Cu+Zn

0,45
меди

Х кг
олова

0 меди

12+ х
Cu,Zn,Sn

0,4 меди

+ =

Ответ: 1,5 кг олова

Решение задач методом чаш

х=1,5

80 г. 12% -го раствора этой же соли, чтобы получить

20% -й раствор соли?

х г

0,3

80 г

0,12

80 + х

0,2

+ =

Ответ: 64 грамма

Решение задач методом чаш

х=64

а второй - 60%
кислоты. Смешав эти растворы и добавив

5 л воды,
получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды
добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы
70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного
раствора кислоты было первоначально?

сплава. Первый содержит
10% никеля, второй- 30% никеля.
Из этих

двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг,
содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса
первого сплава меньше массы второго?

50 кг – масса первого сплава.
150 кг – масса второго сплава.
150 – 50 = 100 (кг)
.

Государственный экзамен 2010. Математика.
Учебно-тренировочные материалы для подготовки
учащихся /

ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.

2. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе
Математики. М.: Педагогический университет
«Первое сентября», 2006.

3. Открытый банк заданий ЕГЭ 2015
http://www.nado5.ru/materials/novoe-v-yege-po-matematike