Математика и литература. Неевклидовы параллели 11 класс

Осканова Анна.

ведь именно математика подарила нам такие слова как гармония, симметрия,

пропорция. Каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся во всех искусствах. Данная работа посвящена двум самым известным, и, казалось бы, ничем не связанным между собой наукам: математике и литературе.

- раскрыть эстетический потенциал математики;
- опровергнуть стереотип о сухости математиков.
Задачи:
- найти материалы, подтверждающие связь между литературой и математикой;
- использовать исторические сведения межпредметного характера;
- доказать присутствие математики в литературе.

задач, теорем, доказательств, известных из истории. Античные ученые часто составляли

задачи в стихотворной форме. Вот пример – древнеиндийская задача:

Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом

тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветом наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?»
Пусть всего собралось Х пчелок, тогда имеем уравнение:
Х/5+Х/3+(Х/3-Х/5)*3+1 = Х
Решив это уравнение, получим ответ: 15 пчел.

И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Воле цветка над водой,
Нашел

же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода
Здесь глубока?

Х2 = Х2 + Х + ¼ - 4
Х= 3,75

о математике:
- «Говорят, что цифры правят миром; я знаю одно

– цифры показывают, хорошо или плохо он управляется» - Гете.
- «…Потому что все оттенки смысла умное число передает» - Н.Гумилев.
- «Пред волей чисел мы все рабы»; «Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!» - В.Брюсов.
- «Я всматриваюсь в вас, о числа… Вы позволяете понимать века» - В.Хлебников.

сложности: «…Но это посложнее логарифма».
Е.Винокуров признается в том, что

ему с трудом даются самые элементарные математические факты и утверждения:
Я чуть не плакал. Не было удачи!
Задача не решалась – хоть убей.
Условье было трудным у задачи,
Дано:
«Летела стая лебедей…»
Я, щеку грустно подперев рукою,
Делил, слагал – не шли дела на лад!
Но, лишь глаза усталые закрою,
Я видел ясно:
Вот они летят…

обратная пропорциональность (А.С.Пушкин, П.Вяземский)
3) Предел функции (М.Ю.Лермонтов, В.Брюсов)
4) Доказательство от

противного (П.Сумароков)
5) Золотое и серебряное сечения в «Слове о полку Игореве» и не только (А.Чернов)

подлинным математиком» Карл Вейерштрасс

Многие математики известны как замечательные поэты

и писатели. Некоторые из них приобрели широкую известность именно за счет своих литературных произведений.

(1850 – 1891)
Карл Вейерштрасс (1815 – 1897)
Чарльз Л.Доджсон (1832 –

1898)
Николай Лобачевский (1792 – 1856)
Михаил Ломоносов (1711 – 1765)

Если внимательно подумать, можно найти доказательство и этому, казалось бы,

абсурдному, утверждению. Итак, где же искать эту математику?
1) В названии произведения: «Три мушкетера» - А.Дюма, «Два капитана» - А.Грин, «Десять негритят» - А.Кристи, «Тысяча и одна ночь» - сборник арабских сказок, «Двенадцать стульев» - И. Ильф и
Е. Петров.

задачи. Сами авторы часто рассматривают их как деталь, фон, эпизод

своего повествования. Но если читатель любитель математики, от него такая задача не ускользнет! Он не упустит случая разобраться, что это там предложил автор: разрешима задача или нет, сколько решений, можно ли обобщить и т.п. Иногда автор бывает столь любезен, что вместе с условием задачи приводит и решение. Но это явление редкое. Чаще дается лишь условие.

Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?
Л. Кассиль «Кондуит и Швамбрания» кн. 2, гл. «Задача с путешественниками».
Решение.
1) 175+525 = 700 (верст) проехал первый путешественник.
2) Пусть Х – число дней, которое проехал каждый путешественник. 525/Х (верст) проезжал в день второй путешественник, 700/Х (верст) проезжал в день первый путешественник. Имеем уравнение: Х = 525/Х + 700/Х; Х = Итак, 20 верст проехал первый путешественник, 15 верст проехал второй путешественник.

и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками.

В коробке оставалось еще 20 рублей.
И. Ильф, Е. Петров « Двенадцать стульев».
Здесь даже не сформулирован вопрос, но он напрашивается сам собой: сколько трех – и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим дополнительное условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Как ни странно, этого вполне достаточно. А теперь найдем решение задачи: отец Федор взял десять трехрублевок и четыре пятирублевки, оставил пять трехрублевок и одну пятирублевку.

Дроздово было по равному количеству служащих. На станции Дроздово было

комсомольцев в 6 раз меньше, чем на двух других, вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней беспартийных было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова там партийная прослойка?
И. Ильф, Е. Петров « Золотой теленок» гл.9 Снова кризис жанра.
И эта задача требует дополнительного условия, иначе решения не будет. Давайте сформулируем его в виде вопроса: Какое наименьшее число служащих надо знать, чтобы задача получила единственное решение. Положим, что на каждой станции было хотя бы по одному в каждой прослойке. Получаем, что количество служащих больше 14. Проводя последующие рассуждения, приходим к ответу, что на станции Воробьево – трое комсомольцев, тринадцать партийцев и один беспартийный. На станции Грачево – девять комсомольцев, один партиец и семеро беспартийных. На станции Дроздово – двое комсомольцев, четырнадцать партийцев и один беспартийный. Итак, на трех станциях было по 17 служащих на каждой.

равна 28; знаменатель отношения равен 4,5, третий член в полтора

раза больше этого знаменателя. Теперь остается найти четвертый член. Вот ты его и найди.
Г. Белых, Л. Пантелеев « Республика Шкид» гл. Шкид влюбляется.
Щкидец Воробей не справился с этой задачей. И не мудрено: условие ее содержит противоречие. Одно из трех данных чисел задано неверно. Чтобы задача стала разрешима положим, например, что сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 8 7/12. Тогда q = 4,5; b1 =1/3 ;
b2 = 1,5; b3 = 27/4; b4 = 243/8. Если мы изменим b, задача будет иметь другое решение.

царь однажды воинам своим
Велел снести земли по

горсти в кучу,
И гордый холм возвысился – и царь
Мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
А.С. Пушкин «Скупой Рыцарь».
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Можно доказать геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».
1 горсть ≈ 1/5 литра ≈ 0,2 дм3.
►Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.
V = 0, 2*100 000 = 20 000 дм3 = 20 м3.
Угол откоса ≤ 45 градусов, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т.е. 450. Итак, дано: конус V = 20 м3, α = 45 градусов. Найти: Н конуса.
2 3
π Н R π Н
Решение. V = ––––– . Так как Н = R, то V = ------- .
3 3
Выразим Н и произведем расчеты. Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м (1,5 человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

В романе А.Дюма «Три мушкетера» описывается игра в кости (кубики, на гранях которых нанесены цифры от 1 до 6).
« Д’Артаньян, дрожа, бросил кости, выпало три очка; его бледность испугала Атоса, и он ограничился тем, что сказал:
- Неважный ход приятель...
Торжествующий англичанин даже не потрудился смешать кости; его уверенность в победе была так велика, что он бросил их на стол, не глядя; Д’Артаньян отвернулся, чтобы скрыть досаду.
- Вот так штука, - как всегда спокойно проговорил Атос, - какой необыкновенный ход, я видел его всего четыре раза за всю мою жизнь: два очка!
Англичанин обернулся и онемел от изумления; Д’Артаньян обернулся и онемел от радости».
Поставим вопрос: почему Д’Артаньян решил, что проиграл? Почему англичанин решил, что выиграл? Можно решать задачу. Выигрывает тот, кто набрал больше очков. Самое минимальное количество очков, которое можно набрать – это два, т.е. на каждом кубике должно выпасть по одному очку. Следующее минимальное количество очков – это 3, т.е. когда на первом кубике выпадет – 2 очка, а на втором – 1 очко или наоборот. И вот этот случай выпадения очков 2:1 или 1:2 именно по отношению к случаю 1:1 будет в два раза вероятнее.

с точностью отменной,
Друзей развел по крайний след,

И каждый взял свой пистолет,
ХХХ
«Теперь сходитесь».
Хладнокровно,
Еще не целя во врага
Походкой твердой, тихо, ровно
Четыре перешли шага,
Четыре смертные ступени.
Свой пистолет тогда Евгений,
Не преставая наступать,
Стал первым тихо подымать.
Вот пять шагов еще ступили,
И Ленский, жмуря левый глаз,
Стал также целить – но как раз
Онегин выстрелил... Пробили
Часы урочные: поэт
Роняет молча пистолет...
А.С. Пушкин «Евгений Онегин»
Поставим вопрос: со скольки шагов стрелялись Онегин и Ленский?
Решение. 32 – (4 + 4) – (5 + 5) = 14. Таким образом делаем вывод: Онегин и Ленский стрелялись с расстояния в 14 шагов. Согласитесь, расстояние настолько маленькое, что промахнуться на этой дуэли практически невозможно.

писатель Л.Н.Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для

крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика». Авторство первой задачи приписывают Льву Толстому, который придумал ее для учеников второго класса церковно-приходской школы. На сайтах относительно этой задачи такой вот текст: «сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников, только 20% студентов ВУЗов и только 10% работников банков».

и 11 классов. Им были предложены задачи, составленные Л.Н. Толстым.

рублей. Подходит покупатель, смотрит, меряет и решает купить. Дает 25

рублей одной купюрой. У продавца нет сдачи. Он посылает мальчишку- помощника к тете Клаве разменять деньги. Мальчишка деньги быстренько разменял и вернулся. Мужик отдал покупателю шапку, сдачу и тот ушел. Через некоторое время прибегает тетя Клава и заявляет, что деньги, которые принес на размен мальчишка фальшивые. Она предлагает мужику не ходить в участок, а прямо сразу вернуть ей деньги. Делать нечего, мужик лезет в карман и отдает тете Клаве свои кровные 25 рублей. Вопрос: На сколько денег «попал» продавец?
Решение.
Итак, мужик получил деньги только от тети Клавы, которая в результате размена вручила ему через мальчика 25 рублей. А выплачивал он деньги дважды - это сдача покупателю шапки(15 рублей) и возврат тете Клаве 25 рублей вместо фальшивых. В сумме - 40. Разница 40 – 25 = 15. Ответ: 15 рублей.

быстро. 70 коров могут поесть ее за 24 дня, а

30 коров – за 60 дней.
Вопрос: Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней?
Решение.
Для решения возьмем вспомогательное неизвестное, которое будет означать суточный прирост травы в долях от ее запаса на лугу. В одни сутки произрастает У травы, в 24 дня – 24У, и если общий запас травы принять за 1, то всего коровы съедают 1+24У. В сутки все стадо (из 70 коров) съедает (1+24У):24, а одна корова съедает (1+24У):(24х70). Подобным же образом выведем количество травы для 30 коров в 60 суток: (1+60У):(60х30). Но количество травы, съедаемой коровой для обоих стад одинаково. Поэтому: (1+24У):(24х70) = (1+60У):(60х30), откуда У = 1/480. Итак, 1/480 растет травы в одни сутки, 1 – запас травы был. Значит, за 96 дней травы станет: 1+96*1/480 = 1,2. одна корова съедает 1/1600 травы. 96 коров съедят 96/1600 = 3/50 травы. Т.о. 6/5:3/50 = 20(дней).
Ответ: 20 дней.

один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг.

После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
Решение.
Пусть было Х косцов, тогда они обкосили первый луг площадью: 4*8Х + 4*4Х; так как площадь второго луга больше в два раза, следовательно, его площадь 2(4*4Х + 1*8Х). Составим и решим уравнение: 4*8Х+4*4Х = 2*(4*4Х + 1*8Х); Х = 8.
Ответ: 8 косцов было в артели.

литературой действительно существует ;
найдены материалы, подтверждающие это;
математика обладает

большим эстетическим потенциалом;
был опровергнут стереотип о сухости математиков;
был проведен опрос учащихся 6, 10 и 11 классов;
использованы исторические сведения межпредметного характера;
доказано присутствие математики в литературе;

друга, как многие думают. Искусство и наука требуют фантазии, творческой

смелости, зоркости в наблюдении различных явлений жизни. Служение науке многие математики представляют себе неотрывным от служения литературе. Поэт должен видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. А математик преследует те же цели.

лингвист Гийас ад-Дун Абу-л-Фатх ибн Ибрахим Омар Хайям известен как

автор поэтических четверостиший (рубайат). Вот самое знаменитое:
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.
Его стихи – точные, острые, и актуальны по сей день.

«Трясу надежды ветви, но где желанный плод?
Как странник нить судьбы в кромешной тьме найдет.
Тесна мне бытия печальная темница.
О, если б дверь найти, что к вечности ведет!» - это четверостишье было написано в период гонений на Омара Хайяма со стороны новых правителей. Но большинство рубайат написаны о смысле жизни. В понимании поэта жить надо для наслаждений, нужно вкушать плотские радости, поскольку они единственное утешение, оставленное смертным:

Спросил у чаши я, прильнув устами к ней:
«Куда ведет меня чреда ночей и дней?»
Не отрывая уст ответила мне чаша:
«Ах, в этот мир ты не вернешься – пей!»

другого великого человека – Яна Амоса Коменского:
Твой ненапрасный

посев почва уже приняла;
Скоро потомство пожнет, на корню уж богатая жатва;
Созданья твои судьба взлелеет для нас,
Мало-помалу ясней становится счастливцам природа:
Если мы силы сплотим, - будет удача во всем.
Время придет, о Комений, когда и тебя, и деянья,
Думы, заветы твои – лучшие люди почтут.

талантом. Софья Васильевна писала прозаические произведения:
- роман «Сестры Раевские»;
- драма

«Борьба за счастье» (в соавторстве со шведской писательницей А.Ш. Леффлер);
- роман «Нигилистка»;
- «Воспоминания детства»;
Стихотворения «Если ты в жизни...», «Пришлось ли?..»

что «математик, который не есть поэт, не будет никогда подлинным

математиком». Вот одно из его стихотворений в переводе академика П.Я. Кочина:

«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живет,
Изгони ее из жизни – с ней любовь навек умрет.
Вздрогнет все от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,
И с последним из поэтов все погаснет в небесах».
Так сказал поэт. Ученых же Бог вещий одарил
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.
Все прекрасное, что людям сердце может обновить,
Все высокое, что в думах – прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один –
То любви уста вещают из сердец своих глубин.

Первое четверостишье этого стихотворения – цитата из стихотворения поэта Августа фон Платена, а остальные отражают мысли самого К.Вейерштрасса.

Льюис Кэрролл как автор сказки «Приключения Алисы в стране чудес».

Как рассказывают биографы, королева Виктория пришла в восторг от этой книги и захотела прочитать все, написанное Кэрроллом. Можно представить ее разочарование, когда она увидела на своем столе стопку книг по математике.

в молодости написал стихотворение «Разлив Волги при Казани»:

Царица рек, в торжественном теченье
К далеким Каспия обширного водам
Ты уклоняешься к Казани на свиданье
С ней – древней матерью татарским городам!..
Ужели и твоих иссякнет волн стремленье –
И Волга зарастет болотною травой?
И, где суда твои крылатые сквозили,
Увязнет странника усталая нога?
Куда они с собой веселье привозили –
Осиротелые умолкнут берега!..
Нет!.. бытие твое до вечности продлится,
Как память ясная великих дел.
Великое в веках бессмертием хранится
И не ему ничтожество – удел.
Вот образ мирного могущества России!
Ее разлив не страшен никому.
Великодушие обуздывает силы,
Всегда, везде покорные ему.

химик, поэт; поборник российского просвещения – вот что пишут об

этом замечательном ученом биографы. Ломоносов был не только естествоиспытателем, но и гуманитарием, филологом и поэтом. В «Письме о правилах российского стихотворства» (1739г.) он обосновал силлабо-тоническую систему стихосложения, сохранившуюся в русской поэзии и поныне. Стал создателем русской оды. Сыграл важную роль в разработке жанров послания, идиллии, эпиграммы. Ниже будет представлено одно из его самых известных стихотворений «Случились вместе два астронома в пиру…»

«Случились вместе два астронома в пиру
И спорили весьма между собой в жару.
Один твердил : «Земля, вертясь, круг Солнца ходит»;
Другой, что Солнце все с собой планеты водит.
Один Коперник был, другой слыл Птолемей.
Тут повар спор решил усмешкою своей.
Хозяин спрашивал: «Ты звезд теченье знаешь?
Скажи, как ты о сем сомненье рассуждаешь?»
Он дал такой ответ: «Что в том Коперник прав,
Я правду докажу на Солнце не бывав.
Кто видел простака из поваров такова,
Который бы вертел очаг кругом жаркова?»
1761г.

любом описании пустое множество оказывается одним и тем же –

число элементов в нем равно нулю.
Спросил меня голос в пустыне дикой:
- Много ли в море растет земляники?
- Столько же, сколько селедок соленых
Растет на березах и елках зеленых.
С.Я.Маршак

известных авторов, как А.С.Пушкин:
Чем меньше женщину мы любим,

Тем легче нравимся мы ей
И тем ее вернее губим
Средь обольстительных сетей.

и П.Вяземский: Чтоб более меня читали,
Я стану менее писать.

любая функция имеет предел:
Как я хотел себя уверить,
Что не

люблю ее, хотел
Неизмеримое измерить,
Любви безбрежной дать предел.
В.Брюсов писал:
Люблю в мечтах предел,
Меня страшит безмерность…

Клав меня лечил, слух этот, друг мой, лжив:
Когда б то

было так, то как же б я был жив?
Разберем это поэтическое доказательство, выявляя его логическую структуру:
Требуется доказать: утверждение, что Клав лечил автора, ложно. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда получили бы, что автор умер. Но нет сомнения, что разбираемые строки написаны автором в тот момент, когда он был жив. Следовательно, наше предположение, что Клав лечил автора, неверно.

так же, как оно свойственно рекуррентному числовому ряду или гармоническим

природным явлениям. Для обнаружения золотого сечения в стихах следует поделить число слогов или число стихов на число Ф, равное 1,618. Серебряное сечения - сечение, равное диаметру текста. Вот пример: стихотворение А.С. Пушкина «Надпись на стене больницы».
Вот здесь лежит больной студент;
Его судьба неумолима.
Несите прочь медикамент:
Болезнь любви неизлечима. (1817)
Диаметр – «судьба», Золотое сечение – «прочь», Серебряное сечение – «медикамент».

«Слова о полку Игореве» В настоящее время исследования продолжаются. Также

он сделал сенсационное открытие. Он нашел, что построение стихов древнерусского памятника «Слово о полку Игореве» подчиняется математическим законам. Исследования позволили Чернову сделать заключение о том, что в основу «Слова о полку Игореве», состоящего из девяти песен, легла круговая композиция. Тогда возникла мысль: в композиционном построении поэмы круг, значит, должны быть «диаметр» и некая математическая закономерность. И уже первые расчеты стали подтверждать это. Оказалось, что если число стихов во всех трех частях (их 804) разделить на число стихов в первой и последней части (256), получается 3,14, то есть число (пи) с точностью до третьего знака!