Методы оптимизации

Содержание

1. Методы оптимизации
2. Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта
3. Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных
4. Задачи оптимизации.Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании
5. Теория и методы решения задач оптимизации при
6. § 2. Одномерная оптимизацияОдномерная задача оптимизации в
7. Теорема Вейерштрасса. Всякая функция f(x), непрерывная на
8. Методы поиска.Будем предполагать, что целевая функция унимодальна,
9. Погрешность приближенного решения задачи определяется разностью между
10. Процесс решения задачи методом поиска состоит в
11. Тогда для выполнения условия в качестве приближения
12. Метод золотого сечения.Метод состоит в построении последовательности
13. 1 шагвнутри отрезка
14. Слайд 14
15. Поскольку в данном случае
16. Второй шаг проводим на отрезке
17. Поскольку здесь
18. Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на
19. Из этого соотношения можно найти точку деления,
20. Поскольку нас интересует только положительное решение, то
21. Начальная длина интервала неопределенности составляет После первого
22. На втором шаге отрезок также делится в
23. Вторая точка деления выбирается так же, как
24. По аналогии можно записать координаты точек деления
25. Вычислению, естественно, подлежит только одна из координат
26. Как и в общем случае метода поиска,
27. Скачать презентанцию

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
§ 1. Основные понятия

Слайд 2Под оптимизацией понимают
процесс выбора наилучшего варианта
из всех возможных

В процессе решения задачи оптимизации
обычно необходимо найти оптимальные значения

некоторых параметров, определяющих данную задачу.
При решении инженерных задач их принято называть
проектными параметрами,
а в экономических задачах их обычно называют
параметрами плана.

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо

Слайд 3Выбор оптимального решения или
сравнение двух альтернативных решений
проводится с

помощью
некоторой зависимой величины (функции),
определяемой проектными параметрами.
Эта величина

называется целевой функцией
(или критерием качества).

В процессе решения задачи оптимизации
должны быть найдены такие значения
проектных параметров, при которых
целевая функция имеет минимум (или максимум).

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными

Слайд 4Задачи оптимизации.
Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума

действительной функции от n действительных переменных и определении соответствующих значений

аргументов
Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, — это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве.

Задачи оптимизации.Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции от n действительных переменных и

Слайд 5Теория и методы решения задач оптимизации
при наличии ограничений
составляют

предмет исследования
одного из важных разделов прикладной математики —
математического

программирования.

Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из важных разделов прикладной

Слайд 6§ 2. Одномерная оптимизация
Одномерная задача оптимизации в общем случае
формулируется

следующим образом:
Найти наименьшее (или наибольшее)
значение целевой функции у

= f(x),
заданной на множестве

и определить значение проектного параметра

при котором целевая функция принимает
экстремальное значение.
Существование решения поставленной задачи
вытекает из следующей теоремы:

§ 2. Одномерная оптимизацияОдномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом: Найти наименьшее (или наибольшее) значение

Слайд 7Теорема Вейерштрасса.

Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке
принимает

на этом отрезке наименьшее и наибольшее
значения, т. е. на отрезке

существуют такие точки

что для любого

имеют место неравенства

Теорема Вейерштрасса. Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшеезначения, т. е.

Слайд 8Методы поиска.
Будем предполагать, что целевая функция
унимодальна,
т. е. на

данном отрезке она имеет только один минимум.
Численные методы поиска

экстремальных значений
функции рассмотрим на примере нахождения
минимума функции f(x) на отрезке

Методы поиска.Будем предполагать, что целевая функция унимодальна, т. е. на данном отрезке она имеет только один минимум.

Слайд 9Погрешность приближенного решения задачи определяется
разностью между оптимальным значением

х
проектного параметра и приближением к нему

Потребуем, чтобы эта погрешность была
по модулю меньше заданного допустимого значения

Погрешность приближенного решения задачи определяется разностью между оптимальным значением х проектного параметра и приближением к нему

Слайд 10Процесс решения задачи методом поиска
состоит в последовательном сужении
интервала

изменения проектного параметра,
называемого интервалом неопределенности
В начале процесса оптимизации

его длина равна b – a,
а к концу она должна стать меньше

т. е. оптимальное значение проектного параметра
должно находиться в интервале неопределенности —
отрезке

причем

Процесс решения задачи методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределенности В

Слайд 11Тогда для выполнения условия
в качестве приближения к оптимальному

значению
можно принять любое
Например,
или
, или
В

последнем случае достаточно выполнения неравенства

Тогда для выполнения условия в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое Например, или , или

Слайд 12Метод золотого сечения.
Метод состоит в построении
последовательности отрезков
,
,…,

стягивающихся к точке минимума
функции f(x).

На каждом шаге, за исключением первого,
вычисление значения функции f(x)
проводится лишь в одной точке.
Эта точка, называемая золотым сечением,
выбирается специальным образом.

Слайд 131 шаг

внутри отрезка
выбираем

некоторые внутренние точки
и
и вычисляем значения целевой

функции

Слайд 14

Слайд 15Поскольку в данном случае

из прилегающих к
отрезков:
или
Поэтому отрезок

можно отбросить, сузив тем самым
первоначальный интервал неопределенности.

Слайд 16Второй шаг

проводим на отрезке

где

Нужно снова выбрать две внутренние

точки,
но одна из них

осталась из предыдущего шага,
поэтому достаточно выбрать лишь одну точку

вычислить значение

и провести сравнение.

Второй шаг проводим на отрезке где Нужно снова выбрать

Слайд 17Поскольку здесь

этот отрезок
снова выберем одну внутреннюю точку
и повторим процедуру

сужения
интервала неопределенности.
Процесс оптимизации повторяется до тех пор,
пока длина очередного отрезка

не станет меньше заданной величины

Слайд 18Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек
на каждом отрезке
Пусть

длина интервала неопределенности равна l,
а точка деления разбивает его

на части

Золотое сечение интервала неопределенности
выбирается так, чтобы отношение длины
большего отрезка к длине всего интервала
равнялось отношению длины меньшего отрезка
к длине большего отрезка:

Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на каждом отрезке Пусть длина интервала неопределенности равна l, а точка

Слайд 19Из этого соотношения можно найти точку деления,
вычислив отношения

Преобразуем выражение

и найдем значения
и

Слайд 20Поскольку нас интересует только положительное решение, то

Очевидно, что интервал

неопределенности можно
разделить в соотношении золотого сечения двояко:
в пропорциях
:

В данном случае имеем

Аналогично,

Поскольку нас интересует только положительное решение, то Очевидно, что интервал неопределенности можноразделить в соотношении золотого сечения двояко:

Слайд 21Начальная длина интервала неопределенности составляет
После первого шага оптимизации получается

новый интервал неопределенности — отрезок
Его длина равна

Начальная длина интервала неопределенности составляет После первого шага оптимизации получается новый интервал неопределенности — отрезок Его длина

Слайд 22На втором шаге отрезок
также делится в соотношении золотого

сечения.
При этом одной из точек деления будет точка
Покажем

это:

Последнее равенство следует из соотношения

Слайд 23Вторая точка деления
выбирается так же, как выбирается точка

при делении отрезка
т. е.
И снова интервал

неопределенности
уменьшается до размера

Слайд 24По аналогии можно записать координаты
точек деления у и z

отрезка
на к-м шаге оптимизации (у < z):

По аналогии можно записать координаты точек деления у и z отрезка на к-м шаге оптимизации (у <

Слайд 25Вычислению, естественно,
подлежит только одна из координат у, z
другая

координата берется с предыдущего шага.
При этом длина интервала неопределенности

равна

Вычислению, естественно, подлежит только одна из координат у, z другая координата берется с предыдущего шага. При этом

Слайд 26Как и в общем случае метода поиска,
процесс оптимизации заканчивается

при выполнении условия
Тогда проектный параметр оптимизации
В качестве приближения

к оптимальному значению
можно принять

или

, или

В последнем случае для достижения
требуемой точности достаточно, чтобы

Как и в общем случае метода поиска, процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия Тогда проектный параметр оптимизации

Скачать презентацию

Теги

Разделы презентаций

Методы оптимизации

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ§ 1. Основные понятия

Слайд 2Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения

Слайд 3Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с

помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина

Слайд 4Задачи оптимизации.Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума

действительной функции от n действительных переменных и определении соответствующих значений

Слайд 5Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют

предмет исследования одного из важных разделов прикладной математики — математического

Слайд 6§ 2. Одномерная оптимизацияОдномерная задача оптимизации в общем случае формулируется

следующим образом: Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции у

Слайд 7Теорема Вейерштрасса. Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке принимает

на этом отрезке наименьшее и наибольшеезначения, т. е. на отрезке

Слайд 8Методы поиска.Будем предполагать, что целевая функция унимодальна, т. е. на

данном отрезке она имеет только один минимум. Численные методы поиска

Слайд 9Погрешность приближенного решения задачи определяется разностью между оптимальным значением

х проектного параметра и приближением к нему

Слайд 10Процесс решения задачи методом поиска состоит в последовательном сужении интервала

изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределенности В начале процесса оптимизации

Слайд 11Тогда для выполнения условия в качестве приближения к оптимальному

значению можно принять любое Например, или , или В

Слайд 12Метод золотого сечения.Метод состоит в построении последовательности отрезков , ,…,

стягивающихся к точке минимума функции f(x).

Слайд 131 шагвнутри отрезка выбираем

некоторые внутренние точки и и вычисляем значения целевой

Слайд 14

Слайд 15Поскольку в данном случае

из прилегающих к отрезков: или Поэтому отрезок

Слайд 16Второй шаг проводим на отрезке

где Нужно снова выбрать две внутренние

Слайд 17Поскольку здесь

этот отрезок снова выберем одну внутреннюю точку и повторим процедуру

Слайд 18Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на каждом отрезке Пусть

длина интервала неопределенности равна l, а точка деления разбивает его

Слайд 19Из этого соотношения можно найти точку деления, вычислив отношенияПреобразуем выражение

и найдем значения и

Слайд 20Поскольку нас интересует только положительное решение, то Очевидно, что интервал

неопределенности можноразделить в соотношении золотого сечения двояко: в пропорциях :

Слайд 21Начальная длина интервала неопределенности составляет После первого шага оптимизации получается

новый интервал неопределенности — отрезок Его длина равна

Слайд 22На втором шаге отрезок также делится в соотношении золотого

сечения. При этом одной из точек деления будет точка Покажем

Слайд 23Вторая точка деления выбирается так же, как выбирается точка

при делении отрезка т. е. И снова интервал

Слайд 24По аналогии можно записать координаты точек деления у и z

отрезка на к-м шаге оптимизации (у < z):

Слайд 25Вычислению, естественно, подлежит только одна из координат у, z другая

координата берется с предыдущего шага. При этом длина интервала неопределенности

Слайд 26Как и в общем случае метода поиска, процесс оптимизации заканчивается

при выполнении условия Тогда проектный параметр оптимизации В качестве приближения

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?