Методы решения показательных уравнений

решения показательных уравнений
Учитель математики
высшей категории
Оршокдугова Р.М.
г .Нальчик ,2010 г.

Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного

момента, а уравнения будут существовать вечно». А. Эйнштейн

Альберт
Эйнштейн
1879 - 1955

Т. Эдисон

Цели

а) образовательные:
-закрепить решение простейших показательных уравнений;
-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
в) воспитательные:
-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да

сами».

1) функцию какого вида называют показательной;
2) какова область определения показательной функции;
3) каково множество значений показательной функции;
4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;

35

с формулой.
1)
2)
3)
4)

ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем

− профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.

Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.

тетрадях
Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные,

открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер.

37

38

39

я вижу – я запоминаю,

я делаю – я усваиваю». Китайская мудрость.

39

38

Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных

уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Замечание

метод

лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни

было истин, чем делать это без всякого метода…
Рене Декарт.

38

39

способность почек выводить из крови
радиоактивные изотопы, причем их количество

в крови падает по
показательному закону.

Барометрическая формула. При постоянной температуре
давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону


где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H -
константа, зависящая от температуры воздуха.
Формула разрядки конденсатора. Если начальное

напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону


где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.

пропорционально имеющемуся количеству вещества.
Промежуток времени, в течение которого распадается

половина всех имеющихся атомов называется периодом полураспада данного вещества.
Этот период различен для разных веществ.
Например, за время равное лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.
Ответ.

или

силе
тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля
.
Например,

на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%.
Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила
тока будет изменяться в отношении 1: 0,995

Задание. Сделать аналитическую запись формулы,
выражающей
зависимость силы тока от расстояния. Изобразить
схематически график функции.

Ответ:

Потери силы тока.

так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла)

каждая клетка делится на две дочерние клетки.
Поэтому, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза
Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.
Ответ.

Органический рост

них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении

времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.
Ответ.

Органический рост

– учреждения, которые
давали деньги в рост князьям и купцам,

финансировали за большие проценты
дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить
расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы,
по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых.
Эта сумма выражается формулой


Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере
4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость
величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.

Рост вклада в банке

№ 5

х верны неравенства:
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Графическая иллюстрация

уравнение равносильно системе:
При х = 0 второе уравнение обращается в

тождество, значит
х = 0 корень уравнения.

Ответ: х = 0.

Графическая иллюстрация

которых уравнение
имеет решения. Найдите эти решения.
При всех значениях

х выражение

При всех значения х выражения

Поэтому

Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему:

Решение. Перепишем уравнение в виде

Так как при замене

х на –х данное уравнение не изменится, то множество его корней вместе с каждым корнем содержит противоположный корень. Следовательно, уравнение имеет четное число корней, отличных от нуля. Проверка показывает, что 0 – корень, значит, данное уравнение имеет нечетное число корней.

иметь нечетное число корней?

Решение.

Ответ: да.

Графическая иллюстрация

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ

-3
а = -2

Тестовые задания: Учебно – методическое пособие / Л.Д. Лаппо, А.В.

Морозов, М.А. Попов. – М.: издательство «Экзамен», 2006, 2008, 2010

2. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Варианты тестов. Министерство образования РФ. – М.: Центр тестирования Минобразования России, 2008. / Денищева Л.О. и др.

3. Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство: 2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976
Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-05/1242475156_2.jpg

Литература

– и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому

методу, мы достигнем цели
Г. Лейбниц

простейшие показательные уравнения.
2.Активно знать все показательные тождества

3.Четко, подробно и без ошибок проделывать математические
преобразования уравнений.
4.Знать методы решения задач. На каждом этапе Вам необходимо:
а) определить тип уравнения;
б) вспомнить соответствующий этому типу метод
решения задачи.

20-26 , то получаете оценку «5».

Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».

Молодцы !!!

«Показательные уравнения»

общего множителя за скобки
Метод замены переменной
Метод почленного деления
Метод группировки
Графический метод