10 способов решения квадратных уравнений 8 класс

с углубленным изучением
отдельных предметов «Полифорум»


10 способов решения квадратных уравнений
Проект
Творческое

название проекта

Маленькие хитрости решения квадратных уравнений

ДЕВИЗ: В математике большую роль играют маленькие хитрости.

разнообразны способы решения квадратных уравнений?»

Гипотеза:
Предполагаю, что квадратные уравнения

можно решить несколькими разными способами

Цель:
Изучение теоретических основ и применение на практике различных способов решения квадратных уравнений

сети Интернет
2. Синтезировать информацию по плану
3. Изучить различные

способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике

План работы:
Определение темы и цели проекта, формулирование темы исследования
Определение источника информации
Определение способа сбора и анализа информации
Определение способа представления результатов

отражает результаты исследования, проведенного мной о том, какие существуют способы

решения квадратных уравнений и что из этого можно взять полезного для себя и моих друзей.

Тема проекта связана с тем, чтобы, используя способы решения квадратных уравнений можно найти неизвестное об известном.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.
   

тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов,

без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с,

а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

Брахмагупта

Формулы решения квадратных уравнений были впервые изложены в книге, написанной итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (XIIIв.). х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г.

Леонардо Фибоначчи

других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Жирар
Ньютон
Декарт
Все уравнения

алгебры имеют столько решений, сколько их показывает наименование наивысшей величины.

Я мыслю, следовательно, существую.

Гений есть терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении.

Все математики знали, что под алгеброй были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти

Виет

х2 + 10х - 24 = 0.
Разложим левую часть

на множители:
х2 + 10х - 24 =
=(х + 12)(х - 2).
Следовательно,
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то,
один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть
уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12.
Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями
уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

Цель:
привести квадратное уравнение общего вида к виду
А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Способы:
Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.

- 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Преобразуем

теперь левую часть уравнения
х2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем:
х2 + 6х - 7 =
=х2 + 2• х • 3 + 9 - 9 - 7 =
= (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0,
(х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, или х + 3 = -4
х1 = 1, х2 = -7.

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

уравнений по формуле
1
2

квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + c = 0.

(1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы
(по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
Если (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p.

Если р < 0, то оба корня отрицательны.
Если р < 0, то оба корня положительны.

умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому

его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2 – 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета у = 5, у =6, то х1 = 5/2, х = 6/2
Ответ: 2,5; 3.

+ bх + с = 0, где а ≠ 0.
Если,

а+ b + с = 0 , то

Если b = a + c, то

px + q = 0
х2 = - px - q.
Построим

графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
График первой зависимости - парабола, проходящая
через начало координат. График второй
зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие
случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного
уравнения;

Прямая и
парабола могут
касаться ( только
одна общая
точка), т.е.
уравнение имеет
одно решение;

прямая и
парабола не
имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

+ bх + с =0
Итак:
1) построим точки (центр окружности)

и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.

2)окружность касается оси Ох в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

3) окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

1)окружность пересекает ось Ох в двух точках
В(х1;0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного
уравнения ах² + bх + с = 0.

(см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Номограмма для решения уравнения
z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет,
не решая квадратного уравнения,
по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.11):
z2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой
точки криволинейной шкалы.

Как древние греки решали уравнение у2 + 6y –

16 = 0. Решение представлено на рисунке, где у2 + 6у = 16,
или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9.
Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = + 5 и у + 3 = – 5, или у =2, у2= –8

у

у

3

3

ставит перед нами математика.
данные приёмы решения заслуживают внимания,

поскольку они не отражены в школьных учебниках математики;
овладение данными приёмами помогает мне экономить время и эффективно решать уравнения;
потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы выпускных экзаменов;

Выводы:

мышления»

В.П.Ермаков

Благодарю за внимание