Замечательные точки треугольника

МОУ СОШ №7
Свичкарева Дарья.
Научный руководитель
Богданова Н.Ю.
учитель математики.

WGEO; в использовании её для решения геометрических задач на построение;

в ознакомлении учащихся с замечательными точками треугольника и методами их построения.
Задачи:
- углубить представления о треугольнике;
- научить строить замечательные точки в треугольнике;
- решать простейшие и нестандартные задачи с помощью программы WGEO;

тяжести.
Ортоцентр.
Прямая Эйлера.
Окружность девяти точек.

жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости

треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других, оно было затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида. Среди "определений", которыми начинается эта книга, имеются и следующие: "Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны". Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

ABC и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам. Если построение

выполнено точно, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Другими словами, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.

биссектрисы его углов. И вновь при точном построении все три

биссектрисы пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить перпендикуляры DA 1, DB 1 и DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA 1=DB1=DC1.
Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

отрезки, соединяющую каждую из вершин с серединой противолежащей стороны. Такие

отрезки называются медианой. И вновь мы наблюдаем, что и эти отрезки пересекаются в одной точке. Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможете проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2:1, считая от вершин.

пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется

центром тяжести(барицентр).

на противоположные стороны (их называют высотами), то все они пересекутся

в одной точке H. Эта точка называется ортоцентром. С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по – разному: у остроугольного треугольника – внутри, у прямоугольного – на гипотенузе, а у тупоугольного – снаружи. Таким образом мы познакомились еще с одной замечательной точкой треугольника и можем сказать, что: высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

лежат на одной прямой. Причем точка пересечения медиан (центр тяжести)

делит эту прямую в отношении 1:2! Эта прямая называется прямой Эйлера.

и С), основания его высот ( точки D, E и

F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, N и L) лежат на одной окружности. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности. Такая окружность называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

учебное пособие учащимися при решении задач на построение и учителями

для использования этого материала на уроках геометрии.