Многогранники вокруг нас

видами многогранников в научной литературе;
обосновать существование основных видов многогранников;

познакомиться с принципами получения многогранников;
рассмотреть вопрос о существовании многогранников в окружающем мире;
показать связь геометрии с другими науками.

отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэрролл

некоторое геометрическое тело.
2. Совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами.

кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Существует 5

видов правильных многогранников:

ТЕТРАЭДР

ГЕКСАЭДР

ОКТАЭДР

ИКОСАЭДР

ДОДЕКАЭДР

 грань;
«тетра» 4;
«гекса»

 6;
«окта»  8;
«икоса»  20;
«додека»  12.

ребер, граней и вершин многогранников. Эта теорема была открыта французским

ученым Рене Декартом еще в 1640 году, затем забыта более чем на сто лет и лишь в 1752 году переоткрыта математиком Леонардом Эйлером, имя которого она носит.

Для всякого выпуклого многогранника
между числами В, Г и Р выполняется
соотношение В+Г - Р = 2 ( вершины, грани, рёбра).

нескольких, иногда довольно сложных, многогранников. Вряд ли он задумывался над

тем, всегда ли это возможно и хватает ли для изображения развертки одного многоугольника, но следующее предположение часто называют его именем. Гипотеза Дюрера состоит в том, что любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну связную реберную развертку.

Реберная развертка многогранника состоит из набора многоугольников, расположенных без пересечений в одной плоскости, и условий склейки границ этих многоугольников.

Гипотеза Дюрера говорит о выпуклых многогранниках. Она не доказана и не опровергнута и по сей день.

Если какое-то разрезание многогранника по ребрам позволяет обойтись одним многоугольником, при этом не нарушив условия непересечения, то такая реберная развертка называется связной.

Гильберт

появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна

сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Значит мудрые пчелы экономят воск и время для постройки сот. Площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой "математической" работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остаётся
просветов. А где ещё возможность увидеть эти удивительные тела?

относительно формы вирусов. Большинство вирусов имеют форму многогранников, например, икосаэдра.

Геометрические свойства икосаэдра позволяют экономить генетическую информацию.

куб передаёт форму кристаллов поваренной соли NaCl, кристалл серного колчедана

FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдр, бор - икосаэдр.

Ренессанса. В своё время Дюрер был поражен художественной манерой художника

Барбари, строившего свои композиции на основе глубокого изучения системы пропорций, то есть строго определенного соотношения частей изображаемого между собой. «Я в то время более желал узнать, в чем состоит его способ, нежели приобрести королевство», — признавался Дюрер впоследствии. Он стал изучать законы перспективы, мечтал встретиться с прославленными итальянскими мастерами, учиться у них,состязаться с ними.

Многогранники в живописи

1514 г.знаменитая гравюра «Меланхолия».
Женщина окружена различными предметами. Назначение некоторых —

понятно, других — загадочно. Вместе они образуют хаос. В нем нелегко разобраться.

Вот огромный многогранник неправильной формы. Совсем недавно, заинтересовавшись гравюрой Дюрера, минералоги определили — это кристалл плавикового шпата. Такие находили в горных разработках под Нюрнбергом. Но это современное объяснение не делает облик кристалла менее удивительным. Дюреру причудливое создание природы показалось таинственным. Он решил, что так же будет воспринимать его и зритель гравюры.

Многие художники испытывали постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы

нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями, гравюрами на

дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников много математиков, которые видят в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и

в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

"Четыре тела"

правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования

многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника.

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой

можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком.

"Звезды"

В. А. «Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники», Москва: МЦНМО, 2010
http://ru.wikipedia.org
http://kamensky.perm.ru/proj/mng/01.htm
http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=177af321-edc5-4fd0-ada2-487f20471153
http://art.1001chudo.ru/germany_1556.html
http://referat.resurs.kz/ref/pravilnie-mnogogranniki
http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/MNOGOGRANNIK.html
http://mnogograns.narod.ru/