Разделы презентаций


МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Содержание

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей

пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется

вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫФигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая

Слайд 2МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными,

четырехгранными, пятигранными и т. д.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ	В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Слайд 3ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух

других его плоских углов.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший

из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ∠ASB ≤  ∠ASC <  ∠ASC +  ∠BSC; ∠BSC ≤ ∠ASC <  ∠ASC +  ∠ASB.
Таким образом, остается доказать неравенство ∠ASС <  ∠ASB +  ∠BSC.

Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно,  ∠DSC <  ∠BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство  ∠ASС <  ∠ASB +  ∠BSC.

Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD.

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ	Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.	Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол

Слайд 4ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.   
Аналогично, для

трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: 

∠ ABС <  ∠ ABS +  ∠ CBS,  ∠ ACB <  ∠ ACS +  ∠BCS. Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем 180°<  ∠ BAS + ∠ CAS +  ∠ ABS +  ∠ CBS + ∠ BCS +  ∠ ACS = 180° -  ∠ ASB + 180° -  ∠ BSC + 180° -  ∠ ASC. Следовательно,  ∠ ASB +  ∠ BSC +  ∠ ASC < 360° .

Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу доказанного свойства, имеет место неравенство  ∠ BAС <  ∠BAS +  ∠ CAS.

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ	Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.   Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С

Слайд 5ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой

фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком

содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.

Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫМногогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя

Слайд 6Вертикальные многогранные углы
На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных

вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.

Вертикальные многогранные углы	На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов	Теорема. Вертикальные углы равны.

Слайд 7Измерение многогранных углов
Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной

величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать,

что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен , получаем, что трехгранный угол призмы равен  .
Измерение многогранных углов	Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о,

Слайд 8Измерение трехгранных углов*
Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его

двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу

и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C.
Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или
∠ SA + ∠ SB +  ∠ SC = 180о + 2 ∠ SABC.
Измерение трехгранных углов*Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного

Слайд 9Измерение многогранных углов*
Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его

на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя

к ним полученную формулу, будем иметь:
∠ SA1 + … + ∠ SAn = 180о(n – 2) + 2 ∠ SA1…An.

Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь:
∠SA1+ …+∠SAn = π (n – 2) + 2∠SA1…An.

Измерение многогранных углов*Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …,

Слайд 10Упражнение 1
Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а)

30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°,

60°?

Ответ: а) Нет;

б) нет;

в) да.

Упражнение 1Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°;

Слайд 11Упражнение 2
Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах,

образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные

углы.

Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;

б) октаэдр;

в) икосаэдр.

Упражнение 2Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные

Слайд 12Упражнение 3
Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°.

В каких границах находится третий плоский угол?
Ответ: 10о < ϕ

< 150о.
Упражнение 3Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол?Ответ:

Слайд 13Упражнение 4
Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°.

Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°.
Ответ:

90о.
Упражнение 4Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов

Слайд 14Упражнение 5
В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°;

двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.
Ответ: 60о.


Упражнение 5В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий

Слайд 15Упражнение 6
Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°.

На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB,

OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC.

Ответ: 90о.

Упражнение 6Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные

Слайд 16Упражнение 7
Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном

из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см,

и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.
Упражнение 7Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок,

Слайд 17Упражнение 8
Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от

его граней.
Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий

на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.
Упражнение 8Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней.Ответ: Луч, вершиной которого является вершина

Слайд 18Упражнение 9
Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от

его ребер.
Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий

на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.
Упражнение 9Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер.Ответ: Луч, вершиной которого является вершина

Слайд 19Упражнение 10
Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Упражнение 10	Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Слайд 20Упражнение 11
Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра.

Упражнение 11Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра.

Слайд 21Упражнение 12
Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра.

Упражнение 12Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра.

Слайд 22Упражнение 13
Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Упражнение 13Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Слайд 23Упражнение 14
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2

см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой

пирамиды.
Упражнение 14В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол

Слайд 24Упражнение 15
В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы

при вершине 90о. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды.

Упражнение 15В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдите трехгранный угол при

Слайд 25Упражнение 16
В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а

высота Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды.

Упражнение 16В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота   Найдите трехгранный угол при

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика