Наименьшее общее кратное НОК

общего кратного;
отрабатывать умение решать задачи на использование НОК и НОД.
www.konspekturoka.ru

ч.
От одной пристани к другой ходят два катера. Начинают работу

одновременно в 8 ч утра. Первый катер на рейс туда и обратно тратит 2ч, а второй - 3 ч.
Через какое наименьшее время оба катера опять окажутся на первой пристани, и сколько рейсов за это время сделает каждый катер?
Сколько раз за сутки эти катера встретятся на первой пристани, и в какое время это будет происходить?

Изучение нового материала

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

на 3 то есть должно быть кратным числам 2 и

3.

Числа кратные:

2:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

3:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.

Подчеркнем общие кратные чисел 2 и 3.

Наименьшее общее кратное

Значит, через 6 ч после начала работы два катера одновременно окажутся на первой пристани.

Сколько рейсов за это время сделает каждый катер?

Первый – 3 рейса, второй – 2 рейса.

Сколько раз за сутки эти катера встретятся?

4 раза

В какое время это будет происходить?

В 14 ч, 20 ч, в 2 ч ночи, в 8 утра.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

кратное чисел: 75 и 60.
75 = 3 ∙ 5∙ 5
60

= 2∙ 2∙ 3 ∙ 5

НОК (75; 60) = 3 ∙ 5 ∙ 5∙ 2∙ 2 = 75∙ 2 ∙ 2 = 300.

1. Разложить все числа на простые множители.

2. Написать разложение одного из чисел (лучше наибольшего).

3. Дополнить данное разложение теми множителями из разложения других чисел, которые не вошли в написанное разложение.

Определение.
Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили

заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

45 = 2 ∙ 3 ∙ 5 60 = 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 2
НОК (45; 60) = 60 ∙ 3 = 180,
значит 180 м.
Ответ: 180 м.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

= 2 ∙ 2 ∙ 5;
12 = 2 ∙

2 ∙ 3;

НОК (15; 20; 12) = 20 ∙ 3 = 60, следовательно, через 60 суток.

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй 20 суток и третий 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Нужно найти НОК чисел 15; 20 и 12.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

Слова «многократно» означает «много раз».
Понятием кратного пользуются в жизненной практике

при установлении вида года. Через каждые три обыкновенных года, в каждом из которых по 365 дней (в феврале 28 дней), бывает четвертый год, так называемый високосный, в котором 366 дней (в феврале 29 дней).
Если число, которым выражается указанный год, есть число, кратное 4, то указанный год високосный, а если не кратно 4, то год обыкновенный. Так, 2008 год - високосный, так как 2008 кратно 4, 2007 - не високосный, так как 2007 не кратно 4.

Историческая минутка.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

∙ 5 ∙ 11 ∙ 3 = 3300;
НОК (а; b)

= 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 = 700

г)Так как b делится на а, то НОК будет само число b;

∙ 2 ∙ 3 = 48;
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
б)12

и 16;

I

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

г) НОК (396; 180) = 2 ∙ 2 ∙

3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 5 = 1980;

II

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 · 11; 180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 · 5

(168; 231; 60) = 231 ∙ 2 ∙ 2 ∙

2 ∙ 3 · 7 · 5 = 194 040

III

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 · 7; 231 = 1 · 231; 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

квадрата
Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а

ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа?

НОД (48; 40) = 8,
значит, квадраты будут со стороной 8 см.
48 ∙ 40 = 1920 (см2) – площадь прямоугольника.
8 ∙ 8 = 64 (см²) - площадь квадрата,
1920 : 64 = 30 (квадратов)
Ответ: квадраты со стороной 8 см; 30 квадратов.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению

54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
65 = 5 ∙ 13

НОК (54; 65) = 54 · 65 = 3510;

24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
35 = 5 · 7

НОК (24; 35) = 24 · 35 = 840;

Вывод:
Наименьшее общее кратное двух взаимно простых
чисел равно их произведению.

Найдем наименьшее общее кратное любых двух взаимно простых чисел

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

34 и 170.
Равно ли оно одному из данных чисел?
Так

как большее число делится на меньшее, то наименьшим
общим кратным этих чисел будет являться большее число.
НОК (45; 135) = 135; НОК (34; 170) = 170.
Наибольший общий делитель этих чисел:
НОД (45; 135) = 45; НОД (34; 170) = 34.

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел 22 и

66:

в) НОК (22; 66) = ? НОД (22; 66) = ?

НОК (22; 66) = 2 · 3 · 11 = 66

I

общий делитель чисел 39 и 65:
г) НОК (39; 65)

= ? НОД (39; 65) = ?

НОК (39; 65) = 5 · 13 · 3 = 195;

II

а и b?
Какое число называют наибольшим общим делителем натуральных чисел

а и b?
Какое число является наименьшим общим кратным чисел т и п, если число т кратно числу n?
Какие натуральные числа называют простыми?
Какие натуральные числа называют взаимно простыми?

10.05.2012

www.konspekturoka.ru