Некоторые сведения из планиметрии . Вписанный четырехугольник

этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

углов равны 180°.
Доказательство. Угол  ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1).

Поэтому величина угла ABC  равна половине угловой величины дуги ADC. Угол  ADC  является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.
      Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.

то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Докажем теорему 2 методом

«от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга .
      Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A  (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE  вписан в окружность, то в силу теоремы 1сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC  и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE  и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.
  Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм

является прямоугольником.

тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d  –  длины сторон четырёхугольника,  а p  –

полупериметр, т.е.