Обыкновенные дифференциальные уравнения

значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и

её производных (или дифференциалов):

Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

вида:
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция
Общее

решение:

Пример: общее решение:

уравнения,
-Линейные уравнения,
-Уравнение в полных дифференциалах,
-и т.д.



Остановимся подробнее на каждом из

этих типов уравнений.

условию
f(x)dx + g(y)dy = 0,
Интегрируя, получим                         

- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример:





- общее решение

легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:
Записываем уравнение в

форме:



затем делим на g(y) и умножаем на dx:                    .

Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

решение:
Пример:

видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:
Это уравнение

сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой:             

Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим


(это - уравнение с разделяющимися переменными),


- это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

- общее решение уравнения

y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.

Пример:

неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x)v(x).
Тогда

и уравнение приводится к виду:



или


Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными:



затем находим u(x) из уравнения:           

решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x),

обнуляющую слагаемое со скобками.       Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

             .

в общее решение                            



Решение задачи:              

Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая

часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что



Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:         




Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

этой системы находим:


с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции

      (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x.

Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .

в полных дифференциалах.
                            .

уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции

y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:                

n-кратным интегрированием.
Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде :
y

= cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

Пример:

младшие производные.
Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n))

= 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции
z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид



т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка.
После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается
уравнение y(k)(x)= z(x).

явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой

функции:


Тогда        


и уравнение примет вид                   

уравнения


не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с

помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y:

Пример: Понизить порядок уравнения:

Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем ,

тогда                 .

Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений

поэтому рассматриваем два случая: