Разделы презентаций


Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Ст. преп., к.ф.м.н.
Богданов Олег Викторович
2010

Ст. преп., к.ф.м.н.Богданов Олег Викторович2010

Слайд 2Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой

значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и

её производных (или дифференциалов):

Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y

Слайд 3ОДУ первого порядка
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

вида:
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция
Общее

решение:

Пример: общее решение:



ОДУ первого порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:где x - независимая переменная, y(x) -

Слайд 4Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений: -Уравнения с разделяющимися переменными,
-Однородные

уравнения,
-Линейные уравнения,
-Уравнение в полных дифференциалах,
-и т.д.



Остановимся подробнее на каждом из

этих типов уравнений.
Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений: -Уравнения с разделяющимися переменными,-Однородные уравнения,-Линейные уравнения,-Уравнение в полных дифференциалах,-и т.д.Остановимся

Слайд 5Уравнения с разделёнными переменными.

Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному

условию
f(x)dx + g(y)dy = 0,
Интегрируя, получим                         





- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример:





- общее решение




Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию f(x)dx + g(y)dy = 0, Интегрируя,

Слайд 6Уравнения с разделяющимися переменными.

Так называются уравнения вида
Эти уравнения

легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:
Записываем уравнение в

форме:



затем делим на g(y) и умножаем на dx:                    .

Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Слайд 7Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее

решение:
Пример:

Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение:Пример:

Слайд 8Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным

видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:
Это уравнение

сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой:             

Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим


(это - уравнение с разделяющимися переменными),


- это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих

Слайд 9Пример:







                                                                                                                                                                








- общее решение уравнения
Пример:                                                                                                                                                                   

Слайд 10Окончательно, получим общее решение:
Пример:

Окончательно, получим общее решение:Пример:

Слайд 11Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция

y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:


здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.


Пример:


Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение

Слайд 12Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых

неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x)v(x).
Тогда




и уравнение приводится к виду:



или


Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными:



затем находим u(x) из уравнения:           
Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) =

Слайд 13Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это

решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x),

обнуляющую слагаемое со скобками.       Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.
Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти

Слайд 14Пример:

                            Решение:













и общее решение уравнения

             .

Пример:                                Решение:и общее решение уравнения                    .

Слайд 15Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача Коши), подставим

в общее решение                            



Решение задачи:              

Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача Коши), подставим в общее решение                             Решение задачи:

Слайд 16Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида
(P(x, y),

Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая

часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что



Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:         




Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида (P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае,

Слайд 17Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений





Из первого уравнения

этой системы находим:


с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции

      (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x.

Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравненийИз первого уравнения этой системы находим:с точностью до произвольной дифференцируемой

Слайд 18Пример: найти общее решение уравнения
Убедимся, что это - уравнение

в полных дифференциалах.
                            .

Пример: найти общее решение уравнения Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.                             .

Слайд 19


Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

Слайд 21ОДУ высших порядков
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется

уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции

y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:                

ОДУ высших порядков    Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной

Слайд 22Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида


решается последовательным

n-кратным интегрированием.
Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде :
y

= cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

Пример:

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Переобозначив постояные, общее решение запишем

Слайд 23Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её

младшие производные.
Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n))

= 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции
z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид



т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка.
После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается
уравнение y(k)(x)= z(x).
Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k),

Слайд 24Пример: Понизить порядок уравнения:                                                     
Младшая производная, входящая в

явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой

функции:


Тогда        


и уравнение примет вид                   
Пример: Понизить порядок уравнения:                                                       Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому

Слайд 25Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x.
Порядок

уравнения


не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с

помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y:

Пример: Понизить порядок уравнения:

Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем ,

тогда                 .

Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений

поэтому рассматриваем два случая:     

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравненияне содержащего явно x, может быть понижен

Слайд 26Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика