Перпендикулярность прямых и плоскостей.

угол между ними равен 90°.
Перпендикулярные прямые могут пересекаться( а и

в) и скрещиваться(а и с)

из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,то и другая

прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано:а llв , а⊥c
Доказать:в ⊥c

МА и МС,
параллельные соответственно прямым а и с.Так как

а ⊥c, то ∠ АМС =90°

2)По условию в ll а, а по построению а ll МА,потому в ll МА. Итак,
прямые в и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°.Это означает, что угол между
прямыми в и с также равен 90°.

в
2) а ⊥ c, MC II C => MA ⊥

MC
3) MA ⊥ MC, MA II в, МС II C => в ⊥ С.

перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости
Перпендикулярность прямой и плоскости

обозначается: а⊥α.
Если прямая перпендикулярна к плоскости,то она пересекает её.

1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,то и

другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой.

какую-нибудь прямую х в плоскости α.Так как а ⊥ α

,то
а ⊥ х .По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к
третьей а1 ⊥х .Таким образом,прямая а1 перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в плоскости α,т.е. а1 ⊥ α

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ

x
2) a II a1 , a ⊥ x => a1

⊥ x => а1 ⊥ α , т.к. х – произвольная прямая плоскости α.

М прямой в проведём прямую в1 , параллельную прямой а.

По предыдущей теореме в1 ⊥ α.Докажем, что в1 совпадает с прямой в. Тем самым будет доказано,что а ll в.
2)Допустим,что прямые в и в1 не совпадают.Тогда в плоскости β, содержащей прямые в и в1 ,через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с , по которой пересекаются плоскости α и β.Но это невозможно,следовательно, а ll в

А )

Б)

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ

∈ в, М ∈ в1 )
2) в ⊥ α ,

с ⊂ α => в ⊥ с
3) а ⊥ α , с ⊂ α => а ⊥ с
4) а ⊥ с , в1 II а => в1 ⊥ с
5) в ⊥ с , в1 ⊥ с, М ∈ в , М ∈ в1 => в ≡ в1
6) в1 II а , в ≡ в1 => а ll в

прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой плоскости
Дано: а ⊥

р, а ⊥q,р ⊂ α,
q ⊂ α, р ∩q=0

Доказать: а ⊥ α

Рассмотрим случай,когда прямая m проходит через точку О.Проведем через точку

О прямую l,параллельную прямой m.Отметим на прямой точки А и В так,чтобы точка О была серединой отрезка АВ,и проведем в плоскости α прямую,пересекающую прямые p , q и l соответственно в точках Р,Q и L.

Так как прямые p и q - серединные перпендикуляры к отрезку АВ , то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, △АРQ=△BPQ по трём сторонам. Поэтому ∠APQ=∠BPQ. Рассмотрим △АРL и △BPL.Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР,PL-общая сторона, ∠APL= ∠BPL), поэтому AL=BL. Но это означает, что треугольник АВL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т.е. l ⊥ а.Так как и l ll m , то m ⊥ а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т.е. а ⊥ а .

Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а1 ⊥ p и а1 ⊥ q , поэтому по доказанному в первом случае а1 ⊥ α.Отсюда (по теореме о двух параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что а ⊥ а .

Δ APQ = Δ BPQ => ∠ APQ = ∠

BPQ
4) Δ APL = Δ BPL => AL = BL
5) Медиана OL Δ ABL – высота, т.е. АВ ⊥ OL или а ⊥ OL
Этап 2:m – произвольная прямая плоскости α, OL II m. Т.к. а ⊥ OL, то а ⊥ m => а ⊥ α.

к данной плоскости,и притом только одна
Дано: М, α
Доказать: 1)через точку

М проходит
прямая, перпендикулярная α
2)такая прямая только одна

плоскость β, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой

а. Обозначим буквой в прямую, по которой пересекаются плоскости α и β.

В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой в. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости(с ⊥ в , с ⊥ а, т.к. β ⊥ а).
2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая (обозначим её через с 1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с ll с 1, что невозможно, так как прямые с и с 1 пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости α.

β ⊥ α
3) α ∩ β = в
4) с: М

∈С, с ⊥ в

Доказательство:
1) М ∈ с
2) с ⊥ в по построению
3) с ⊥ а, т.к. β ⊥ α

4) с – единственная прямая

плоскости α
Н – основание перпендикуляра
АМ – наклонная, проведенная из точки

А к плоскости α
М – основание наклонной
НМ – проекция наклонной на плоскость α

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая

из той же точки
2° У равных наклонных, проведенных к плоскости

из одной точки, проекции равны

3° Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой проекция больше

перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к

самой наклонной

Дано:М ∈а, АН-перпендикуляр,АМ - наклонная,НМ - проекция наклонной, а ⊥ НМ

Доказать: а ⊥ АМ

Доказательство:

двум пересекающимся прямым АН и МН(а ⊥
НМ по условию

и а ⊥ АН, т.к. АН ⊥ α) . Отсюда следует, что
прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости
АМН, в частности а ⊥ АМ .

АН
а ⊥ НМ (по условию)
2) а ⊥ (АНМ),

АМ ⊂ (АНМ) => а ⊥ АМ

прямую и не перпендикулярной её, называется угол между прямой и

её проекцией на плоскость

0° ≤ α ≤ 90°
α = 0 °, если прямая параллельна плоскости
α = 90° , если прямая перпендикулярна плоскости

полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащим одной плоскости

Двугранный

угол может быть острым , тупым и прямым

ребру двугранного угла, а вершина лежит на его ребре
Градусной мерой

двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны
СЛЕДСТВИЕ

ИЗ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

АС, причем АВ ⊥ АС, так как по условию АВ⊥

β, т.е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
Проведём в плоскости прямую АD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD -- линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей α и β. Но
∠ BAD=90° (так как АВ ⊥ β ). Следовательно, угол между плоскостями α и β равен 90°, т.е. α ⊥ β .

Дано: АВ ⊂ α , АВ ⊥ β

Доказать: α ⊥ β

Доказательство:

АС (α ∩ β = АС)
2) АВ ⊥ β, АD

⊂ β => АВ ⊥ АD (АD ⊥ AC)
3) ∠(α ; β) = ∠ BAD = 90° => α ⊥ β