Расстояние от точки до плоскости

до плоскости методом объемов (типовые задачи №16)
Подготовила:
учитель математики
МОУ «Гимназия №1»
г.

Железногорска Курской области
Агашкова Н.А.

объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или

угол).
Метод объемов можно использовать, вычисляя:
расстояние от точки до плоскости;
угол между прямой и плоскостью;
угол между плоскостями;
расстояние между скрещивающимися прямыми.

Все, что здесь нужно, - это найти подходящую треугольную пирамиду

и аккуратно провести вычисления. Правда, вычислений обычно получается несколько больше, чем в методах, рассмотренных выше. Но тут уж ничего не поделаешь – за простоту метода приходится платить.
Замечательный факт состоит в том, что при вычислении объема треугольной пирамиды можно в качестве основания выбрать любую ее грань. Это используется при нахождении расстояния от точки до плоскости; нужно лишь представить искомое расстояние как высоту подходящей пирамиды.
А именно, предположим, что нам нужно найти расстояние от некоторой точки C до некоторой плоскости ABD.

1) Рассмотрим треугольную пирамиду DABC.
2) Предположим, что нам

нужно найти расстояние от некоторой точки C до некоторой плоскости ABD. ρ(С; ABD)-?
3) Тогда искомое расстояние- это высота d данной пирамиды, проведенная из вершины С .
Пусть S₀- площадь грани ABC,
h- высота, опущенная из точки D на эту грань,
S- площадь грани ABD.

S

S₀

найден по формуле:


6) С другой стороны, за основание можно

принять грань ABD, и тогда


7) Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим:


8) Из соотношения (3) можно найти искомую величину d.

…(2)

…(3)

…(1)

; АА₁ = . Найдите

расстояние от точки В до плоскости АВ₁С.

Дано:
ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед
АВ = 1
AD =
АА₁=
(АВ₁С)- секущая плоскость
Найти: ρ(В; АВ₁С)
Решение:

проведенного из B к плоскости AB₁C.
Пусть BK – перпендикуляр, проведенный

из точки B к плоскости AB₁C.
Длина перпендикуляра BK , будет равна высоте пирамиды BAB₁C с вершиной B.
Найдем объем этой пирамиды

где BK - высота пирамиды и расстояние от точки В до плоскости АВ₁С.

5) Найдем площадь ∆АВ₁С.
Для этого найдем стороны ∆АВ₁С.

В₁H = 3-x
3) ∆АНС -

прямоугольный
По теореме Пифагора:

4) ∆AHB₁ - прямоугольный
По теореме Пифагора:

5) Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Второй способ вычисления площади ∆AB₁C

Получим

найдем
Подставим в формулу площади, получим
Итак,
…(1)

Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед, то ВВ₁ ┴ ABCD, т.е. ВВ₁

- высота пирамиды В₁АВС.



Найдем площадь ∆АВС.
∆АВС- прямоугольный.

Следовательно,

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

Ответ:

…(1)

…(2)

прежними методами было бы затруднительно.
Почему при решении этой

задачи прежними методами мы столкнулись бы с проблемами? Дело в том, что в пирамиде АВСВ₁ отсутствует симметрия – все ребра пирамиды имеют различную длину. Соответственно, к проекции точки В на плоскость АВ₁С не так-то просто «подобраться». Но методу объемов, как видите, данная трудность нипочем – мы нашли искомую высоту, даже не выясняя, куда именно проектируется точка В.

Найдите расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD.
Дано:
SABCD- правильная

четырехугольная пирамида
Е- середина SB
AB=BC=CD=AD=AS=BS=DS=
=CS=1
Найти: ρ(Е; SDC)
Решение:

проведенного из точки E к плоскости DSC.
Пусть EK – перпендикуляр,

проведенный из точки E к плоскости DSC.
Подходящая треугольная пирамида здесь ESDC.
Искомое расстояние есть высота этой пирамиды, проведенная из вершины Е на основание SDC, т.е. EK.
4) Найдем объем пирамиды ESDC с вершиной Е.

,
где EK - высота пирамиды и расстояние от Е до плоскости SDC.

К

равны.

- площадь правильного треугольника.
Следовательно,



6) Итак,

…(1)

CSED.

где СО- высота пирамиды.

8) Докажем, что СО ┴ SED.
СО ┴ BD- как диагонали квадрата.
СО ┴ SO, так как SO ┴ ABCD, следовательно перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
BD∩SO=O, BD  BSD; SO  BSD
9) Значит, СО ┴ BSD на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Следовательно, СО ┴ SED.

и
DK- высота ∆SED.

Значит,
А т.к.

, то

Найдем площадь ∆SED. Сделаем выносной рисунок

которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости

BFA₁.

Ответ:
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SCE.

Ответ:
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBF

Ответ:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е- середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости ACE.

Ответ: 0,5

найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.

Ответ:

В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые стороны (ребра) равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDE. Ответ:

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до плоскости BDC₁.
Ответ: