Пирамида. Усеченная пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр презентация

n треугольников (боковые грани), имеющих общую вершину (Р).
Р
А1
А2
А3
Аn
H

РА1; РА2;

РА3; ... ; РАn – боковые ребра
А1А2; ... ;А1Аn – ребра основания
РH – высота пирамиды - h

h

центр основания;
боковые ребра – равны;
боковые грани – равные

равнобедренные треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

BC = CD = DA = a (в основании –

квадрат)

H

h

a

a

A

B

D

O

P

К

К – середина DC

C

а – сторона основания

высота,

h – апофема

A
O
B
C
h
H
S
D
a

Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и

описанной около него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы. Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ – боковые ребра равны.
Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.
Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны. Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО - общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМ
Свойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти

высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

О

E

S

D

С

В

А

Решение:

1. AC ∩ ВD = О

2. Пирамида правильная ⇒
SО ⊥ (АВС)

3. ОЕ ⎜⎜ АD ⇒ ОЕ ⊥ СD ⇒

4. SЕ ⊥ СD (по теореме о 3 перпендикулярах)

5. Δ SОЕ – п\у tg E = SО : ОЕ

6. ОЕ = 0,5АD =115м

7. SО = ОЕ • tg E = 115 • 1,2 = 138 м

Ответ: 138 м.

высота пирамиды 138 м. Найти боковое ребро самой высокой египетской

пирамиды.

О

230 м

S

D

С

В

А

Решение:

1. AC ∩ ВD = О

3. Пирамида правильная ⇒
SО ⊥ (АВС)

4. Δ SОD – п\у

по т. Пифагора DS2 = DО2+ОS2 = 26450 + 1382=
= 26450 +19044 = 45494
DS ≈ 213 м

Ответ: 213 м.

2. Δ АОD – п\у, р\б

по т. Пифагора
АD2 = DО2+ОА2
2ОD2= 2302 = 52900
ОD2 = 26450

с ребром 1?
Решение
1. Sпов=4Sтр
2. Sтр = 0,5а2sin600




Ответ:

3. Sпов=4 •

0,5а2sin600 =
=

равна 230 м и высота 138 м.


О

E
S
D
С
В
А
Решение:
2. AC ∩ ВD

= О

3. Пирамида правильная ⇒
SО ⊥ (АВС)

4. ОЕ ⎜⎜ СD ⇒ ОЕ ⊥ АD ⇒

5. SЕ ⊥ АD (по теореме о 3 перпендикулярах)

6. Δ SОЕ – п\у
по т. Пифагора
ЕS2 = ЕО2+ОS2 = 1152 + 1382 =
= 13225 +19044 = 32269
ЕS ≈ 180

7. ES - высота ΔАSD

SАSD = 0,5 ЕS•АD = 0,5 •180 • 230 =20700 м2

Ответ: 82800 м2

1. Sб.пов=4Sтр

8. Sб.пов=4Sтр = 4 • 20700 = 82800 м2

Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.


О

S
D
С
В
А
Решение:
1. AC

∩ ВD = О

2. Пирамида правильная ⇒
SО ⊥ (АВС) ⇒ Δ SОD –п\у

4. ∠ D = 300

Ответ: 300.

3. SD = 2• SO

PB1B2…Bn – пирамида
Усеченная пирамида
β
α

P
A1
A2
A3
An
B1
B3
Bn
B2
O
O1
H
B1B2…Bn – верхнее основание
A1A2…An

– нижнее снование
A1B1B2A2; …; AnBnB1A1 – боковые грани – трапеции
A1B1; A2B2; …; AnBn – боковые ребра
OO1= H – высота

собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A1B1C1 – равносторонние
OO1 =

H – высота
КК1 = h – апофема

A

C

A1

B1

C1

O1

O

H

K1

K

h

B

a

b

собой равнобокие трапеции.

ABCD и A1B1C1D1 – квадраты
OO1 = H –

высота
KK1 = h – апофема

A1

A

B

C

D

B1

C1

D1

O

O1

H

K

K1

h

a

b

стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания

углы в 600. Верно ли это утверждение?
2). Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
3). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».